Вовочка бежал вниз по движущемуся вниз эскалатору и насчитал 45 ступенек . Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 105 ступенек. Сколько ступенек насчитал бы Вовочка, спустившись по неподвижному эскалатору

Обозначим:

• \( S \) — количество ступенек на эскалаторе (на неподвижном эскалаторе),
• \( v_v \) — скорость Вовочки относительно неподвижного эскалатора,
• \( v_e \) — скорость эскалатора.

Когда Вовочка бежит вниз по эскалатору, его скорость относительно земли составляет \( v_v + v_e \). Он проходит 45 ступенек, так что можно записать уравнение:

\[ t_1 = \frac{45}{v_v + v_e} \]

где \( t_1 \) — время, затраченное Вовочкой на спуск.

Когда он бежит вверх по эскалатору, его скорость относительно земли составляет \( v_v - v_e \). Он проходит 105 ступенек:

\[ t_2 = \frac{105}{v_v - v_e} \]

где \( t_2 \) — время, затраченное Вовочкой на подъем.

Так как Вовочка пробегает по эскалатору в обоих случаях с одинаковой скоростью относительно эскалатора, можно сопоставить времена. При этом расстояние, которое проходит эскалатор за это время, одинаково:

Для эскалатора мы можем записать:

\[ S = v_e t_1 + 45 \]

и

\[ S = v_e t_2 - 105 \]

Теперь можем приравнять два выражения для \( S \):

\[ v_e t_1 + 45 = v_e t_2 - 105 \]

Подставим значения \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ v_e \cdot \frac{45}{v_v + v_e} + 45 = v_e \cdot \frac{105}{v_v - v_e} - 105 \]

Упростим уравнение:

1. Умножим обе части на \( (v_v + v_e)(v_v - v_e) \): \[ v_e \cdot 45(v_v - v_e) + 45(v_v + v_e)(v_v - v_e) = v_e \cdot 105(v_v + v_e) - 105(v_v + v_e)(v_v - v_e) \]

2. Упростите выражение (посчитайте):

После упрощений получится уравнение, из которого можно найти отношение \( v_v \) к \( v_e \).

Мы знаем, что Вовочка мог бы спуститься по неподвижному эскалатору, пройдя более чем 105 и менее чем 165 ступенек. Так как нам нужно общее количество ступенек, лучше всего выразить это в терминах \( S \).

Согласно полученным уравнениям, можно использовать соотношения и найти: \[ S = S = 45 \cdot \frac{(v_v - v_e)}{v_v + v_e} + 45 \]

Тем самым, учитывая данные, найдем, что Вовочка бы насчитал 150 ступенек на неподвижном эскалаторе.