Даны точки А(1;3;3),В(1;0;2),С(-1;-1;3) и D(-1;0;3).Найти угол между векторами АВ и СD
Чтобы найти угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \), сначала найдем эти векторы.
Находим вектор \( \vec{AB} \): \[ \vec{AB} = B - A = (1, 0, 2) - (1, 3, 3) = (0, 0 - 3, 2 - 3) = (0, -3, -1) \]
Находим вектор \( \vec{CD} \): \[ \vec{CD} = D - C = (-1, 0, 3) - (-1, -1, 3) = (0, 0 + 1, 3 - 3) = (0, 1, 0) \]
Теперь у нас есть векторы \( \vec{AB} = (0, -3, -1) \) и \( \vec{CD} = (0, 1, 0) \).
Используем формулу для нахождения угла между векторами: Угол \( \theta \) между векторами \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) можно найти с помощью скалярного произведения: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \]
Сначала найдем скалярное произведение \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \): \[ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (0)(0) + (-3)(1) + (-1)(0) = 0 - 3 + 0 = -3 \]
Найдем модули векторов: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 9 + 1} = \sqrt{10} \] \[ |\vec{CD}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{0 + 1 + 0} = \sqrt{1} = 1 \]
Подставим значения в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{-3}{\sqrt{10} \cdot 1} = \frac{-3}{\sqrt{10}} \]
Найдем угол: Теперь найдем угол \( \theta \): \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-3}{\sqrt{10}}\right) \]
Этот угол можно вычислить с помощью калькулятора. Важно помнить, что значение косинуса угла может вести к углу в диапазоне от \(0\) до \(180\) градусов. Убедитесь, что вы переводите радианы в градусы, если это требуется.
Таким образом, угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \) можно найти, вычислив \( \theta \).
