Решите систему уравнений { 4х2 + 4ху + у2 = 25, { 2х – у = 3.

Чтобы решить систему уравнений:

1. \( 4x^2 + 4xy + y^2 = 25 \)
2. \( 2x - y = 3 \)

начнем с того, что выразим \( y \) из второго уравнения.

Из уравнения \( 2x - y = 3 \) получаем:

\[ y = 2x - 3 \]

Теперь подставим это выражение для \( y \) в первое уравнение:

\[ 4x^2 + 4x(2x - 3) + (2x - 3)^2 = 25 \]

Распишем уравнение:

\[ 4x^2 + 8x^2 - 12x + (4x^2 - 12x + 9) = 25 \]

Объединим все термины:

\[ 4x^2 + 8x^2 + 4x^2 - 12x - 12x + 9 = 25 \]

Это упрощается до:

\[ 16x^2 - 24x + 9 = 25 \]

Переносим 25 в левую часть:

\[ 16x^2 - 24x + 9 - 25 = 0 \]

Упрощаем:

\[ 16x^2 - 24x - 16 = 0 \]

Можно упростить уравнение, поделив все коэффициенты на 8:

\[ 2x^2 - 3x - 2 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \]

Дискриминант положительный, значит, у уравнения два различных корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{4} = 2, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}. \]

Теперь подставим найденные значения \( x \) обратно в уравнение для \( y \): Для \( x_1 = 2 \):

\[ y = 2(2) - 3 = 1. \]

Для \( x_2 = -\frac{1}{2} \):

\[ y = 2(-\frac{1}{2}) - 3 = -1 - 3 = -4. \]

Таким образом, у нас есть два решения системы уравнений:

1. \( (2, 1) \)
2. \( (-\frac{1}{2}, -4) \)

Проверка подставленных значений в первое уравнение подтверждает, что обе пары \( (x, y) \) являются его решениями.