f(x)=3x^(2)+10x^(3) иследовать

Давайте исследуем функцию \( f(x) = 3x^2 + 10x^3 \) с точки зрения её свойств.

1. Определение области определения: Функция является многочленом, и её область определения — все действительные числа \( x \in \mathbb{R} \).

2. Находим производную: Исследуем производную функции, чтобы найти критические точки и исследовать поведение функции.

   \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 10x^3) = 6x + 30x^2 \]

   Мы можем вынести общий множитель:

   \[ f'(x) = 6x(1 + 5x) \]

   Устанавливаем производную равной нулю, чтобы найти критические точки:

   \[ 6x(1 + 5x) = 0 \]

   Это дает нам два решения:

   \[ x = 0 \quad \text{и} \quad 1 + 5x = 0 \implies x = -\frac{1}{5} \]

3. Исследование знака производной: Теперь определим знаки производной в интервалах, которые определяются критическими точками \( x = -\frac{1}{5} \) и \( x = 0 \).

   • Для \( x < -\frac{1}{5} \): Выберем, например, \( x = -1 \): \[ f'(-1) = 6(-1)(1 + 5(-1)) = 6(-1)(1 - 5) = 6(-1)(-4) = 24 > 0 \] Значит, функция растет на интервале \( (-\infty, -\frac{1}{5}) \).

   • Для \( -\frac{1}{5} < x < 0 \): Выберем, например, \( x = -\frac{1}{10} \): \[ f'(-\frac{1}{10}) = 6(-\frac{1}{10})(1 + 5(-\frac{1}{10})) = 6(-\frac{1}{10})(1 - \frac{1}{2}) = 6(-\frac{1}{10})(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{10} < 0 \] Функция убывает на интервале \( (-\frac{1}{5}, 0) \).

   • Для \( x > 0 \): Выберем, например, \( x = 1 \): \[ f'(1) = 6(1)(1 + 5(1)) = 6(1)(6) = 36 > 0 \] Функция снова начинает расти на интервале \( (0, \infty) \).

4. Исследование точек минимума и максимума: Теперь у нас есть информация о поведении функции. Мы видим, что:

   • При \( x = -\frac{1}{5} \) функция достигает локального максимума, так как производная меняет знак с положительного на отрицательное.
   • При \( x = 0 \) функция достигает локального минимума, так как производная меняет знак с отрицательного на положительное.

5. Находим значения функции в критических точках:

   • \( f(-\frac{1}{5}) = 3(-\frac{1}{5})^2 + 10(-\frac{1}{5})^3 = 3 \cdot \frac{1}{25} - 10 \cdot \frac{1}{125} = \frac{3}{25} - \frac{2}{25} = \frac{1}{25} \).
   • \( f(0) = 3 \cdot 0^2 + 10 \cdot 0^3 = 0 \).

6. Поведение функции на бесконечности: При \( x \to \infty \), \( f(x) \to \infty \), так как ведущее слагаемое \( 10x^3 \) доминирует. При \( x \to -\infty \), также \( f(x) \to -\infty \), так как ведущее слагаемое также будет отрицать.

Итак, функция \( f(x) \) имеет локальный максимум в точке \( x = -\frac{1}{5} \), минимумы в точке \( x = 0 \), и ведет себя следующим образом:

• Растет на интервале \( (-\infty, -\frac{1}{5}) \),
• Убывает на интервале \( (-\frac{1}{5}, 0) \),
• Растет на интервале \( (0, \infty) \).

Это исследование позволяет вам понять основные свойства функции. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!