Решите графически систему уравнений,x+y=5,xy=4
Для решения системы уравнений графически, давайте изобразим каждое уравнение на координатной плоскости.
- Первое уравнение: \(x + y = 5\)
Это уравнение можно переписать в виде \(y = 5 - x\). Это уравнение представляет собой прямую, проходящую через точки \((5, 0)\) и \((0, 5)\).
- Второе уравнение: \(xy = 4\)
Это уравнение можно представить в виде \(y = \frac{4}{x}\), что описывает гиперболу, которая проходит через точки, такие как \((2, 2)\), \((-2, -2)\), \((4, 1)\) и \((-4, -1)\).
Теперь, чтобы решить систему графически, нарисуем обе функции на одной координатной плоскости:
- Проведите прямую \(y = 5 - x\), которая будет убывающей и будет пересекаться ось Y в \(y = 5\) и ось X в \(x = 5\).
- Затем нарисуйте гиперболу \(y = \frac{4}{x}\). Она будет иметь две ветви: одну в первой и третьей четверти, а другую во второй и четвертой.
Точки пересечения этих графиков и будут решениями вашей системы уравнений.
Для нахождения точных координат пересечений можно решить систему уравнений алгебраически, подставив \(y\) из первого уравнения во второе:
Подставим \(y = 5 - x\) в \(xy = 4\):
\[(x)(5 - x) = 4\]
Раскроем скобки:
\[5x - x^2 = 4\]
Переносим все в одну сторону:
\[x^2 - 5x + 4 = 0\]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9\]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2}\]
Это даёт \(x_1 = \frac{8}{2} = 4\) и \(x_2 = \frac{2}{2} = 1\).
Теперь подставим оба найденных значения \(x\) обратно в уравнение \(x + y = 5\):
Для \(x_1 = 4\):
\(4 + y = 5 \Rightarrow y = 1\)
Для \(x_2 = 1\):
\(1 + y = 5 \Rightarrow y = 4\)
Таким образом, у нас есть два решения: \((4, 1)\) и \((1, 4)\).
Графически они будут представлены как точки пересечения линии и гиперболы, что завершает решение вашей системы уравнений.
