52. Объём правильной шестиугольной пирамиды равен 15√2, а сторона основания равна √10. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
Для решения задачи о нахождении бокового ребра правильной шестиугольной пирамиды, давайте воспользуемся следующими формулами и шагами.
Объем пирамиды можно выразить через площадь основания и высоту. Формула выглядит так: \[ V = \frac{1}{3} S_b h \] где \(V\) — объем, \(S_b\) — площадь основания, \(h\) — высота.
Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды вычисляется по формуле: \[ S_b = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] где \(a\) — длина стороны шестиугольника.
Подставим значение стороны основания: \[ a = \sqrt{10} \] Тогда площадь основания будет: \[ S_b = \frac{3\sqrt{3}}{2} (\sqrt{10})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 10 = 15\sqrt{3} \]
Теперь подставим известные значения объема и площади в формулу для объема: \[ 15\sqrt{2} = \frac{1}{3} \cdot 15\sqrt{3} \cdot h \] Упрощаем: \[ 15\sqrt{2} = 5\sqrt{3} \cdot h \] Отсюда: \[ h = \frac{15\sqrt{2}}{5\sqrt{3}} = 3\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{6} \]
Теперь, чтобы найти боковое ребро \( l \), нужно использовать соотношение между боковым ребром, высотой и радиусом описанной окружности основания: \[ l = \sqrt{h^2 + R^2} \] Где \(R\) — радиус описанной окружности. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен: \[ R = a = \sqrt{10} \] Таким образом: \[ l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{10})^2} = \sqrt{6 + 10} = \sqrt{16} = 4 \]
Таким образом, боковое ребро этой пирамиды равно \(4\).
