25x^2+30x+9<0

Чтобы решить неравенство \(25x^2 + 30x + 9 < 0\), начнем с нахождения корней соответствующего квадратного уравнения \(25x^2 + 30x + 9 = 0\) с помощью формулы дискриминанта.

Дискриминант \(D\) рассчитывается по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \(a = 25\), \(b = 30\), \(c = 9\).

Подставим значения:

\[ D = 30^2 - 4 \cdot 25 \cdot 9 = 900 - 900 = 0 \]

Поскольку дискриминант равен нулю, это означает, что уравнение имеет один корень (двойной корень). Находим его с помощью формулы:

\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{30}{2 \cdot 25} = -\frac{30}{50} = -\frac{3}{5} \]

Теперь, зная, что у уравнения есть один корень \(x = -\frac{3}{5}\), мы можем проанализировать знак квадратичной функции \(25x^2 + 30x + 9\).

1. Для \(x < -\frac{3}{5}\), подставим, например, \(x = -1\):

\[ 25(-1)^2 + 30(-1) + 9 = 25 - 30 + 9 = 4 \quad (\text{положительно}) \]

2. Для \(x = -\frac{3}{5}\):

\[ 25\left(-\frac{3}{5}\right)^2 + 30\left(-\frac{3}{5}\right) + 9 = 0 \quad (\text{равно нулю}) \]

3. Для \(x > -\frac{3}{5}\), подставим, например, \(x = 0\):

\[ 25(0)^2 + 30(0) + 9 = 9 \quad (\text{положительно}) \]

Таким образом, функция \(25x^2 + 30x + 9\) является параболой, которая открывается вверх (поскольку \(a > 0\)), и имеет только один корень \(x = -\frac{3}{5}\). Она положительна для \(x < -\frac{3}{5}\) и для \(x > -\frac{3}{5}\).

Следовательно, неравенство \(25x^2 + 30x + 9 < 0\) не имеет решений, поскольку функция не принимает значения меньше нуля.

Итак, итог: нет значений \(x\), для которых выполняется неравенство \(25x^2 + 30x + 9 < 0\).