У = х3 + 9х2 + 15х на [-3; -2]
Для того чтобы исследовать функцию \( U = x^3 + 9x^2 + 15x \) на интервале \([-3; -2]\), давайте сначала найдем ее значения в пределах данного интервала.
Вычислим значения функции на границах интервала:
Когда \( x = -3 \): \[ U(-3) = (-3)^3 + 9(-3)^2 + 15(-3) \] \[ = -27 + 9 \times 9 - 45 \] \[ = -27 + 81 - 45 = 9 \]
Когда \( x = -2 \): \[ U(-2) = (-2)^3 + 9(-2)^2 + 15(-2) \] \[ = -8 + 9 \times 4 - 30 \] \[ = -8 + 36 - 30 = -2 \]
Теперь проверим, есть ли экстремумы функции в интервале \([-3; -2]\):
Для этого найдем производную функции: \[ U' = 3x^2 + 18x + 15 \] Затем найдем критические точки, решив уравнение \( U' = 0 \): \[ 3x^2 + 18x + 15 = 0 \] Делим уравнение на 3: \[ x^2 + 6x + 5 = 0 \] Теперь решим с помощью формулы корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \] Здесь \( a = 1, b = 6, c = 5 \): \[ x = \frac{{-6 \pm \sqrt{{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{{-6 \pm \sqrt{{36 - 20}}}}{2} = \frac{{-6 \pm \sqrt{16}}}{2} \] \[ = \frac{{-6 \pm 4}}{2} \] Это дает нам два корня: \[ x_1 = \frac{-2}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \]
Однако, из этих двух, только \( x = -5 \) находится вне нашего интервала \([-3; -2]\), так что в интервале \([-3; -2]\) нет критических точек.
Сравним значения функции на границах интервала:
- \( U(-3) = 9 \)
- \( U(-2) = -2 \)
Таким образом, на интервале \([-3; -2]\) функция \( U \) принимает максимальное значение \( 9 \) при \( x = -3 \) и минимальное значение \( -2 \) при \( x = -2 \).
Если у вас возникнут дополнительные вопросы по этому материалу או другим темам, не стесняйтесь спрашивать!
