К концу сложенной комком цепочки массы m прикреплена шайба массы M. Шайбе сообщают скорость v, и она начинает скользить по льду, растягивая цепочку. Через какое время цепочка окажется растянутой полностью, если удары звеньев неупругие, а ее длина L? Трения нет. можно использовать центр масс и закон сохранения импульса для решения задачи
Для решения этой задачи удобно использовать закон сохранения импульса и принцип центра масс. Начнем с того, что вся система состоит из шайбы массой \( M \) и цепочки массой \( m \), длиной \( L \).
Исходные условия:
- Шайба массой \( M \) получает скорость \( v \) и начинает двигаться.
- Цепочка изначально неподвижна.
Импульс системы: По закону сохранения импульса, импульс системы до начала движения равен импульсу после начала движения (учитывая, что шайба получает скорость, а цепочка в этот момент неподвижна):
\[ Mv = (M + m)V_{cm} \]
Здесь \( V_{cm} \) — скорость центра масс системы после первого удара.
Скорость центра масс: Мы можем выразить скорость центра масс \( V_{cm} \):
\[ V_{cm} = \frac{Mv}{M + m} \]
Распределение скорости цепочки: Когда шайба начинает двигаться, цепочка начнет растягиваться, и мы можем использовать тот факт, что скорость звеньев цепочки станет равномерно распределенной. Скорость \( V_{chain} \) для каждого звена цепочке будет меньше, чем скорость шайбы, это связано с тем, что шайба передает импульс цепочке во время растяжения.
Время растяжения: Теперь, чтобы оценить время \( t \), за которое цепочка растянется полностью, важно понять расстояние, которое будет покрывать шайба за время \( t \):
Шайба за время \( t \) пролетит расстояние \( vt \), а растяжение цепочки составляет полную длину \( L \). Для полного растяжения цепочки каждый кусочек цепочки будет двигаться с некой эффективной средней скоростью.
Учитывая, что скорость, с которой передается импульс по цепочке, будет соизмерима со скоростью центра масс (т.е. \( V_{chain} \approx V_{cm} \)), мы можем приравнять:
\[ vt = L \]
Откуда, находим время:
\[ t = \frac{L}{v} \]
Таким образом, полное растяжение цепочки происходит за время \( t = \frac{L}{v} \). Этот результат верен при отсутствии трения и при неупругих ударах.
