Луч AD – биссектриса угла A. На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что ∠ADB=∠ADC. Докажите, что AB=AC.

Давайте разберёмся с этой задачей. Нам необходимо доказать, что отрезки AB и AC равны, если луч AD является биссектрисой угла \( A \), и углы \( \angle ADB \) и \( \angle ADC \) равны. 1. **Определение биссектрисы:** Луч AD делит угол \( A \) пополам, то есть углы \( \angle BAD \) и \( \angle CAD \) равны. 2. **Равенство углов:** Условия задачи утверждают, что \( \angle ADB = \angle ADC \). Мы можем использовать это равенство, чтобы связать стороны треугольников \( \triangle ADB \) и \( \triangle ADC \). 3. **Свойства треугольников:** В треугольниках \( \triangle ADB \) и \( \triangle ADC \) имеют место: - Углы \( \angle BAD = \angle CAD \) (поскольку AD биссектрисa), - Углы \( \angle ADB = \angle ADC \) (по условию задачи), - Общий угол \( \angle A \). 4. **Применение теоремы о равенстве треугольников:** Теперь у нас есть два треугольника с двумя равными углами: - \( \triangle ADB \) и \( \triangle ADC \) имеют углы \( \angle BAD \) и \( \angle ADB \) равные соответственно углам \( \angle CAD \) и \( \angle ADC \). - По критерию равенства треугольников по двум углам (AA), \( \triangle ADB \cong \triangle ADC \). 5. **Заключение:** Раз треугольники \( \triangle ADB \) и \( \triangle ADC \) равны, то их соответствующие стороны также равны. Таким образом, мы получаем, что \( AB = AC \). Таким образом, мы успешно доказали, что если луч AD является биссектрисой угла A и углы \( \angle ADB \) и \( \angle ADC \) равны, то отрезки AB и AC равны.