В треугольнике АВС угол А = 75°, угол В = 30°, АВ = 10 см. Найдите площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника можно воспользоваться формулой:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \]

где \(S\) — площадь треугольника, \(a\) и \(b\) — длины двух сторон треугольника, а \(C\) — угол между этими сторонами.

В данном случае нам известен один угол \(A = 75^\circ\), другой угол \(B = 30^\circ\) и длина стороны \(AB = c = 10 \text{ см}\). Сначала найдем угол \(C\):

\[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 75^\circ - 30^\circ = 75^\circ \]

Теперь найдем длины сторон \(a\) и \(b\), используя закон синусов:

\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \]

где \(c = AB = 10\) см.

Сначала найдем сторону \(a\):

\[ \frac{a}{\sin(75^\circ)} = \frac{10}{\sin(75^\circ)} \] Таким образом, \(a = 10 \cdot \frac{\sin(75^\circ)}{\sin(75^\circ)} = 10\).

Теперь найдем сторону \(b\):

\[ \frac{b}{\sin(30^\circ)} = \frac{10}{\sin(75^\circ)} \] \[ b = 10 \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(75^\circ)} = 10 \cdot \frac{0.5}{\sin(75^\circ)} \]

Зная, что \(\sin(75^\circ) \approx 0.9659\):

\[ b = 10 \cdot \frac{0.5}{0.9659} \approx 5.18 \text{ см} \]

Теперь подставим значения в формулу для площади:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5.18 \cdot \sin(75^\circ) \]

Подставим \(\sin(75^\circ)\):

\[ S \approx \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5.18 \cdot 0.9659 \] \[ S \approx 25 \cdot 0.9659 \approx 24.15 \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь треугольника \(ABC\) составляет примерно \(24.15\) см².