На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD. Точки K K, L L, M M, N N — середины его сторон. Найди вероятность, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырёхугольнику A M C K AMCK.
Чтобы найти вероятность, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать четырёхугольнику AMCK, необходимо сначала определить площади прямоугольника ABCD и четырёхугольника AMCK.
Назначим размеры прямоугольника. Пусть длина стороны AB (или CD) равна \(a\), а длина стороны AD (или BC) равна \(b\). Тогда площадь прямоугольника ABCD равна: \[ S_{ABCD} = a \cdot b. \]
Найдём координаты точек:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(a, 0)\)
- \(C(a, b)\)
- \(D(0, b)\)
- \(K\) — середина \(AB\): \(K\left(\frac{a}{2}, 0\right)\)
- \(L\) — середина \(BC\): \(L\left(a, \frac{b}{2}\right)\)
- \(M\) — середина \(CD\): \(M\left(\frac{a}{2}, b\right)\)
- \(N\) — середина \(AD\): \(N\left(0, \frac{b}{2}\right)\)
Найдём координаты точек \(A\), \(M\), \(C\), \(K\): \[ A(0, 0), \quad M\left(\frac{a}{2}, b\right), \quad C(a, b), \quad K\left(\frac{a}{2}, 0\right). \]
Используем формулу для вычисления площади многоугольника. Площадь четырехугольника (AMCK) можно найти по формуле: \[ S_{AMCK} = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right|, \] где \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4) \) — координаты точек.
В нашем случае:
- \( (0, 0) \)
- \( \left(\frac{a}{2}, b\right) \)
- \( (a, b) \)
- \( \left(\frac{a}{2}, 0\right) \)
Подставляем в формулу: \[ S_{AMCK} = \frac{1}{2} \left| 0 \cdot b + \frac{a}{2} \cdot b + a \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot 0 - (0 \cdot \frac{a}{2} + b \cdot a + b \cdot \frac{a}{2} + 0 \cdot 0) \right|. \] Это упрощается до: \[ S_{AMCK} = \frac{1}{2} \left| \frac{ab}{2} - \left( ab + \frac{ab}{2} \right) \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{ab}{2} - \frac{3ab}{2} \right| = \frac{1}{2} \cdot \left| -ab \right| = \frac{ab}{4}. \]
Теперь найдем вероятность: \[ P = \frac{S_{AMCK}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4}. \]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать четырёхугольнику AMCK, равна \(\frac{1}{4}\) или 25%.
