укажите решение неравенства 8x - x² ≥ 7

Для решения неравенства \( 8x - x^2 \geq 7 \), начнем с приведения его к стандартному виду.

1. Переносим все элементы в одну сторону:

\[ 8x - x^2 - 7 \geq 0 \]

2. Это неравенство можно переписать как:

\[ -x^2 + 8x - 7 \geq 0 \]

3. Умножим на \(-1\), чтобы поменять знак неравенства и получить стандартный вид квадратного уравнения:

\[ x^2 - 8x + 7 \leq 0 \]

4. Теперь решим уравнение \( x^2 - 8x + 7 = 0 \) с помощью дискриминанта. Сначала находим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36 \]

5. Находим корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 6}{2} \]

Решения будут:

\[ x_1 = \frac{14}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]

6. Теперь у нас есть корни \( x = 1 \) и \( x = 7 \). Неравенство \( x^2 - 8x + 7 \leq 0 \) разбивает числовую ось на три интервала:

• \( (-\infty, 1) \)
• \( (1, 7) \)
• \( (7, +\infty) \)

7. Проверяем знаки на каждом из интервалов:

• Для \( x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( 0^2 - 8 \cdot 0 + 7 = 7 > 0 \) (положительное)
• Для \( 1 < x < 7 \) (например, \( x = 4 \)): \( 4^2 - 8 \cdot 4 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9 < 0 \) (отрицательное)
• Для \( x > 7 \) (например, \( x = 8 \)): \( 8^2 - 8 \cdot 8 + 7 = 64 - 64 + 7 = 7 > 0 \) (положительное)

8. Таким образом, неравенство выполняется на интервале \( [1, 7] \).

Итак, решение неравенства \( 8x - x^2 \geq 7 \) записывается как:

\[ x \in [1, 7] \]