Укажите решение неравенства 8x - x² ≥ 7

Для решения неравенства \(8x - x^2 \geq 7\) начнем с того, чтобы привести его к стандартному виду:

1. Переносим 7 на левую сторону неравенства: \[ 8x - x^2 - 7 \geq 0. \]

2. Переписываем неравенство: \[ -x^2 + 8x - 7 \geq 0. \]

3. Умножим обе стороны неравенства на -1, меняя при этом знак неравенства: \[ x^2 - 8x + 7 \leq 0. \]

4. Далее найдем корни квадратного уравнения: \[ x^2 - 8x + 7 = 0. \]

   Для этого используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36. \]

   Теперь найдем корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1. \]

5. Теперь у нас есть корни \(x_1 = 7\) и \(x_2 = 1\). Мы можем разбить числовую прямую на интервалы:

   • \( (-\infty, 1) \)
   • \( (1, 7) \)
   • \( (7, +\infty) \)

6. Проверим знаки на этих интервалах:

   • Для \(x < 1\) (например, \(x = 0\)): \[ 0^2 - 8 \cdot 0 + 7 = 7 \quad (\text{положительное}). \]
   • Для \(1 < x < 7\) (например, \(x = 2\)): \[ 2^2 - 8 \cdot 2 + 7 = 4 - 16 + 7 = -5 \quad (\text{отрицательное}). \]
   • Для \(x > 7\) (например, \(x = 8\)): \[ 8^2 - 8 \cdot 8 + 7 = 64 - 64 + 7 = 7 \quad (\text{положительное}). \]

7. Теперь можем записать ответ. Неравенство \(x^2 - 8x + 7 \leq 0\) выполняется на интервале \( [1, 7] \).

Таким образом, решение неравенства: \[ x \in [1, 7]. \]