Найдите область определения функции

Привет! Давай вместе найдём область определения функции.

Функция у нас такая: \( y = \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 12x + 18}} \).

Чтобы определить область определения, нужно учесть, что в знаменателе подкоренное выражение должно быть больше нуля (потому что деление на ноль и корень из отрицательного числа в действительных числах невозможны).

Запишем неравенство: \[ 2x^2 - 12x + 18 > 0 \]

Теперь решим его:

1. Найдём нули квадратного трехчлена, решив уравнение: \[ 2x^2 - 12x + 18 = 0 \]

2. Найдём дискриминант: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 144 - 144 = 0 \]

3. Поскольку дискриминант равен нулю, у нас один корень: \[ x = \frac{-(-12)}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 \]

4. Так как значение выражения равно нулю только в точке \( x = 3 \), проверим знаки за этой точкой. Подставляем значения меньше и больше \( x = 3 \) в неравенство:

   • Для \( x = 2 \) (меньше чем 3): \( 2 \cdot 2^2 - 12 \cdot 2 + 18 = 8 - 24 + 18 = 2 > 0 \)
   • Для \( x = 4 \) (больше чем 3): \( 2 \cdot 4^2 - 12 \cdot 4 + 18 = 32 - 48 + 18 = 2 > 0 \)

Следовательно, функция определена для всех \( x \), кроме точки \( x = 3 \).

Поэтому область определения: \( x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty) \).

Надеюсь, это помогло! Если есть вопросы, не стесняйся спрашивать.