Решите систему неравенство x^2-6x-16>0 x^2+2x-120<0

Давайте решим данную систему неравенств шаг за шагом.

1. Начнем с первого неравенства:
   \( x^2 - 6x - 16 > 0 \).

   Для решения этого неравенства найдем корни уравнения \( x^2 - 6x - 16 = 0 \) с помощью дискриминанта:
   Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 \).
   Корни будут:
   \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 10}{2} = 8 \)
   \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 10}{2} = -2 \)

   Теперь у нас есть корни \( x_1 = 8 \) и \( x_2 = -2 \). Мы можем определить промежутки, где неравенство выполняется. Проверим знаки в интервалах:

   • Для \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( (-3)^2 - 6(-3) - 16 = 9 + 18 - 16 = 11 > 0 \)
   • Для \( -2 < x < 8 \) (например, \( x = 0 \)): \( 0^2 - 6 \cdot 0 - 16 = -16 < 0 \)
   • Для \( x > 8 \) (например, \( x = 9 \)): \( 9^2 - 6 \cdot 9 - 16 = 81 - 54 - 16 = 11 > 0 \)

   Итак, первое неравенство выполняется на интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (8, +\infty) \).

2. Теперь перейдем ко второму неравенству:
   \( x^2 + 2x - 120 < 0 \).

   Найдем корни уравнения \( x^2 + 2x - 120 = 0 \) с помощью дискриминанта:
   Дискриминант \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484 \).
   Корни будут:
   \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 22}{2} = 10 \)
   \( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 22}{2} = -12 \)

   Теперь у нас есть корни \( x_1 = 10 \) и \( x_2 = -12 \). Проверим знаки в интервалах:

   • Для \( x < -12 \) (например, \( x = -13 \)): \( (-13)^2 + 2(-13) - 120 = 169 - 26 - 120 = 23 > 0 \)
   • Для \( -12 < x < 10 \) (например, \( x = 0 \)): \( 0^2 + 2 \cdot 0 - 120 = -120 < 0 \)
   • Для \( x > 10 \) (например, \( x = 11 \)): \( 11^2 + 2 \cdot 11 - 120 = 121 + 22 - 120 = 23 > 0 \)

   Таким образом, второе неравенство выполняется на интервале \( (-12, 10) \).

3. Теперь мы можем совместить оба интервала:

   • Для первого неравенства: \( (-\infty, -2) \) и \( (8, +\infty) \)
   • Для второго неравенства: \( (-12, 10) \)

   Пересечения:

   • \( (-\infty, -2) \cap (-12, 10) = (-12, -2) \)
   • \( (8, +\infty) \cap (-12, 10) = пустое \)

Таким образом, решение системы неравенств: \[ x \in (-12, -2) \]