1. Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 2/2 см лежать на сфере радиуса V5 см? 2. Сечение шара плоскостью, удаленной от его центра на 12 см, имеет площадь 25п см?. Определите площадь поверхности шара. 3. Плоскость пересекает сферу. Диаметр сферы, проведенный в одну из точек линии пересечения, имеет длину 4\2 дм и составляет с плоскостью угол 45°. Найдите длину линии пересечения.
Давайте рассмотрим каждую из задач по отдельности.
Задача 1:
Условие: Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 2√2 см лежать на сфере радиуса √5 см?
Решение: Сначала найдем гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами \(a = 4\) см и \(b = 2\sqrt{2}\) см: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 8} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ см}. \] Теперь определим радиус описанной вокруг треугольника сферы: Формула радиуса описанной окружности \(R\) для прямоугольного треугольника: \[ R = \frac{c}{2}, \] где \(c\) — гипотенуза. Подставляя гипотенузу, получаем: \[ R = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6} \text{ см}. \] Сравниваем радиус \(R\) с радиусом сферы \(√5\): \[ \sqrt{6} \text{ см} \approx 2.45 \text{ см}, \quad \sqrt{5} \text{ см} \approx 2.24 \text{ см}. \] Так как \(\sqrt{6} > \sqrt{5}\), то не все вершины треугольника могут находиться на сфере радиуса \(√5\) см.
Ответ: Нет, не могут.
Задача 2:
Условие: Сечение шара плоскостью, удаленной от его центра на 12 см, имеет площадь 25π см². Определите площадь поверхности шара.
Решение: Площадь круга, полученного сечением шара, равна: \[ S = \pi r^2, \] где \(r\) — радиус сечения. Из условия \(S = 25\pi\): \[ \pi r^2 = 25\pi \implies r^2 = 25 \implies r = 5 \text{ см}. \] Теперь используя связь между радиусом шара \(R\) и расстоянием \(d\) от центра шара до плоскости сечения и радиусом сечения \(r\): \[ R^2 = r^2 + d^2, \] где \(d = 12\) см. Подставляем известные значения: \[ R^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \implies R = \sqrt{169} = 13 \text{ см}. \] Теперь, площадь поверхности сферы вычисляется по формуле: \[ S_{\text{sphere}} = 4\pi R^2 = 4\pi (13^2) = 4\pi \cdot 169 = 676\pi \text{ см}^2. \]
Ответ: Площадь поверхности шара равна \(676\pi \text{ см}^2\).
Задача 3:
Условие: Плоскость пересекает сферу. Диаметр сферы, проведенный в одну из точек линии пересечения, имеет длину 4√2 дм и составляет с плоскостью угол 45°. Найдите длину линии пересечения.
Решение: Вероятно, имеется в виду, что диаметр 4√2 дм является длиной отрезка, связывающего две точки пересечения указанных линий. Обозначим радиус сферы как \(R\). Длина отрезка, параллельного диаметру, равна: \[ AB = 4\sqrt{2} \text{ дм}. \] Так как этот отрезок составляет угол 45° с плоскостью, то можно использовать отношение, указывающее, что: \[ l = AB \cdot \cos(45°) = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4 \text{ дм}. \]
