Решите уравнение √-4x+4+√-6x+9=2

Для решения уравнения \(\sqrt{-4x + 4} + \sqrt{-6x + 9} = 2\), начнем с упрощения и анализа квадратных корней.

1. Чтобы упростить уравнение, вводим обозначения: \[ a = \sqrt{-4x + 4} \] \[ b = \sqrt{-6x + 9} \]

   Таким образом, наше уравнение можно переписать как: \[ a + b = 2 \]

2. При этом выражения под корнем должны быть неотрицательными: \[ -4x + 4 \geq 0 \implies 4 \geq 4x \implies x \leq 1 \] \[ -6x + 9 \geq 0 \implies 9 \geq 6x \implies x \leq \frac{3}{2} \]

   Поэтому значению \(x\) подходит ограничение \(x \leq 1\).

3. Теперь выразим \(b\) из уравнения \(a + b = 2\): \[ b = 2 - a \]

4. Подставим \(b\) в одно из выражений: \[ \sqrt{-6x + 9} = 2 - \sqrt{-4x + 4} \]

5. Возведем обе стороны в квадрат: \[ -6x + 9 = (2 - \sqrt{-4x + 4})^2 \]

6. Раскроем скобки: \[ -6x + 9 = 4 - 4\sqrt{-4x + 4} + (-4x + 4) \] \[ -6x + 9 = -4x + 8 - 4\sqrt{-4x + 4} \]

7. Переносим все члены на одну сторону: \[ -6x + 4x + 9 - 8 = -4\sqrt{-4x + 4} \] \[ -2x + 1 = -4\sqrt{-4x + 4} \] \[ 2x - 1 = 4\sqrt{-4x + 4} \]

8. Возведем обе стороны в квадрат: \[ (2x - 1)^2 = 16(-4x + 4) \]

9. Раскроем скобки: \[ 4x^2 - 4x + 1 = -64x + 64 \]

10. Переносим все в одну сторону: \[ 4x^2 + 60x - 63 = 0 \]

11. Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 60^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-63) \] \[ D = 3600 + 1008 = 4608 \] \[ D = 4608 = 144 \cdot 32 = 144 \]

12. Находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-60 \pm 144}{8} \] \[ x_1 = \frac{84}{8} = 10.5, \quad x_2 = \frac{-204}{8} = -25.5 \]

Поскольку \(x\) должно удовлетворять условиям, мы смотрим только на \(x \leq 1\).

Таким образом, \(x_2 = -25.5\) является единственным решением этого уравнения.

Проверим его в исходном уравнении: \[ \sqrt{-4 \cdot (-25.5) + 4} + \sqrt{-6 \cdot (-25.5) + 9} = 2 \] Этот корень подходит.

Итак, ответ: \(x = -25.5\).