Практическое занятие №13 Тема: «Использование комплексных чисел в профессиональных задачах» Цель: научиться решать задачи с использованием комплексных чисел Вариант 1 1. Выполнить…
Практическое занятие №13 Тема: «Использование комплексных чисел в профессиональных задачах» Цель: научиться решать задачи с использованием комплексных чисел Вариант 1 1. Выполнить действия в алгебраической форме записи: a) (3 - 2i)/(1 + 3i) 6) (- 2 - i)(1 + i) 2. Записать комплексные числа в тригонометрической форме и выполнить действия: z_{1} = 2 - 2i z_{2} = - sqrt(3) - i a) z_{1}/z_{2} 6) Z_{2} ^ 2 3. Выполнить действия над комплексными числами в показательной форме: z_{1} = - 6 - 6i * sqrt(3) z_{2} = - 1 - i a) z_{1}*z_{2} 6) Z_{2} ^ 4
Давайте начнем с первой части вашего задания, где нужно выполнить действия с комплексными числами в алгебраической форме.
1. Выполните действия в алгебраической форме записи:
a) \((3 - 2i)/(1 + 3i)\)
Чтобы разделить комплексные числа, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя:
\[ \frac{3 - 2i}{1 + 3i} \cdot \frac{1 - 3i}{1 - 3i} = \frac{(3 - 2i)(1 - 3i)}{(1 + 3i)(1 - 3i)} \]
Теперь вычислим числитель и знаменатель.
Знаменатель:
\[ (1 + 3i)(1 - 3i) = 1^2 - (3i)^2 = 1 - 9(-1) = 1 + 9 = 10 \]
Числитель:
\[ (3 - 2i)(1 - 3i) = 3 \cdot 1 + 3(-3i) - 2i \cdot 1 - 2i(-3i) = 3 - 9i - 2i + 6 = 9 - 11i \]
Теперь подставим обратно в дробь:
\[ \frac{(9 - 11i)}{10} = \frac{9}{10} - \frac{11}{10}i \]
Ответ:
\[ \frac{3 - 2i}{1 + 3i} = \frac{9}{10} - \frac{11}{10}i \]
б) \((- 2 - i)(1 + i)\)
Выполним умножение:
\[ (-2 - i)(1 + i) = -2 \cdot 1 + (-2 \cdot i) + (-i \cdot 1) + (-i \cdot i) \]
Упрощаем:
\[ = -2 - 2i - i + 1 = -1 - 3i \]
Ответ:
\[ (- 2 - i)(1 + i) = -1 - 3i \]
2. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме и выполните действия:
z_{1} = 2 - 2i
Сначала найдем модуль и аргумент:
\[ |z_1| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]
Аргумент:
\[ \theta_1 = \tan^{-1}\left(\frac{-2}{2}\right) = \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4} \text{ (четвертый квадрат)} \]
Таким образом, \( z_1 = 2\sqrt{2} \text{ (cos(-π/4) + i sin(-π/4))} \).
z_{2} = -\sqrt{3} - i
Модуль:
\[ |z_2| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 \]
Аргумент:
\[ \theta_2 = \tan^{-1}\left(\frac{-1}{-\sqrt{3}}\right) + \pi = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \text{ (третий квадрат)} \]
Таким образом, \( z_2 = 2 \text{ (cos(7π/6) + i sin(7π/6))} \).
a) \( z_{1}/z_{2} \)
Используем формулы для деления:
\[ \frac{r_1}{r_2} \text{ (cos(θ_1 - θ_2) + i sin(θ_1 - θ_2))} \]
Где \( r_1 = 2\sqrt{2} \), \( r_2 = 2 \), \( θ_1 = -\frac{\pi}{4} \), \( θ_2 = \frac{7\pi}{6} \):
\[ |z_1/z_2| = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \]
Аргумент:
\[ -\frac{\pi}{4} - \frac{7\pi}{6} = -\frac{3\pi}{12} - \frac{14\pi}{12} = -\frac{17\pi}{12} \]
То есть:
\[ z_1/z_2 = \sqrt{2} \text{ (cos(-17π/12) + i sin(-17π/12))} \]
б) \( Z_2^2 \)
Квадрат числа в показательной форме:
\[ |z_2|^2 = 2^2 = 4 \]
Аргумент:
\[ 2\theta_2 = 2 \cdot \frac{7\pi}{6} = \frac{7\pi}{3} \]
Так что,
\[ Z_2^2 = 4 \text{ (cos(7π/3) + i sin(7π/3))} \]
3. Выполните действия над комплексными числами в показательной форме:
z_{1} = - 6 - 6i * \sqrt{3}
Чтобы записать это в показательной форме, находим модуль и аргумент.
Модуль:
\[ |z_1| = \sqrt{(-6)^2 + (-6\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 108} = \sqrt{144} = 12 \]
Аргумент:
\[ \theta_1 = \tan^{-1}\left(\frac{-6\sqrt{3}}{-6}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3} \text{ (третий квадрат)} \]
Итак, \( z_1 = 12 \text{ (cos(4π/3) + i sin(4π/3))} \).
z_{2} = - 1 - i
Модуль:
\[ |z_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \]
Аргумент:
\[ \theta_2 = \tan^{-1}(1) + \pi = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} \]
Таким образом, \( z_2 = \sqrt{2} \text{ (cos(5π/4) + i sin(5π/4))} \).
a) \( z_{1}*z_{2} \)
Сначала найдем произведение модулей и аргументов:
\[ |z_{1}*z_{2}| = |z_1| \cdot |z_2| = 12 \cdot \sqrt{2} = 12\sqrt{2} \]
Аргумент:
\[ \theta_{1} + \theta_{2} = \frac{4\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} = \frac{16\pi}{12} + \frac{15\pi}{12} = \frac{31\pi}{12} \]
Итак, ваше произведение:
\[ z_{1}*z_{2} = 12\sqrt{2} \text{ (cos(31π/12) + i sin(31π/12))} \]
б) \( Z_{2}^4 \)
Модуль:
\[ |z_2|^4 = (\sqrt{2})^4 = 4 \]
Аргумент:
\[ 4\theta_2 = 4 \cdot \frac{5\pi}{4} = 5\pi \]
Так что:
\[ Z_{2}^4 = 4 \text{ (cos(5π) + i sin(5π))} = 4 \cdot (-1) = -4 \]
Итоговые ответы:
- \( \frac{3 - 2i}{1 + 3i} = \frac{9}{10} - \frac{11}{10}i \)
- \( (- 2 - i)(1 + i) = -1 - 3i \)
- \( z_1/z_2 = \sqrt{2} \text{ (cos(-17π/12) + i sin(-17π/12))} \)
- \( Z_2^2 = 4 \text{ (cos(7π/3) + i sin(7π/3))} \)
- \( z_{1} * z_{2} = 12\sqrt{2} \text{ (cos(31π/12) + i sin(31π/12))} \)
- \( Z_{2}^4 = -4 \)
Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!
