2. Записать комплексные числа в тригонометрической форме и выполнить действия: z_{1} = 2 - 2i z_{2} = - sqrt(3) - i a) z_{1}/z_{2} 6) Z_{2} ^ 2 3. Выполнить действия над…

Чтобы решить данную задачу с комплексными числами, начнем с приведения их к тригонометрической форме.

1. Переход к тригонометрической форме

Для комплексного числа \( z = x + yi \) тригонометрическая форма записывается как:

\[ z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) \]

где \( r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \) — модуль числа, а \( \varphi = \arg(z) = \text{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) \) — аргумент.

1.1. Для \( z_1 = 2 - 2i \)

• Модуль \( r_1 = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
• Аргумент \( \varphi_1 = \text{arctg}\left(\frac{-2}{2}\right) = \text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4} \)

Тригонометрическая форма:

\[ z_1 = 2\sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \]

1.2. Для \( z_2 = -\sqrt{3} - i \)

• Модуль \( r_2 = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \)
• Аргумент \( \varphi_2 = \text{arctg}\left(\frac{-1}{-\sqrt{3}}\right) = \text{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} \). Однако число находится в третьем квадранте, поэтому \( \varphi_2 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \).

Тригонометрическая форма:

\[ z_2 = 2 \left( \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) \right) \]

2. Выполнение действий над комплексными числами

a) \( z_1 / z_2 \)

При делении комплексных чисел в тригонометрической форме:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left( \cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2) \right) \]

Подставим значения:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4} - \frac{7\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4} - \frac{7\pi}{6}\right) \right) \] \[ = \sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{13\pi}{12}\right) + i \sin\left(-\frac{13\pi}{12}\right) \right) \]

6) \( z_2^2 \)

Для возведения в степень используем:

\[ z^n = r^n (\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)) \]

Следовательно,

\[ z_2^2 = (2^2) \left( \cos(2 \cdot \frac{7\pi}{6}) + i \sin(2 \cdot \frac{7\pi}{6}) \right) = 4\left( \cos\left(\frac{7\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{3}\right) \right) \]

С учетом \( \frac{7\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \):

\[ z_2^2 = 4 \left( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right) \]

---

3. Действия с комплексными числами в показательной форме

Переход к показательной форме требует использования формулы Эйлера:

\[ z = re^{i\varphi} \]

3.1. Для \( z_1 = -6 - 6i\sqrt{3} \)

• Модуль \( r_1 = \sqrt{(-6)^2 + (-6\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 108} = \sqrt{144} = 12 \)
• Аргумент \( \varphi_1 = \text{arctg}\left(\frac{-6\sqrt{3}}{-6}\right) = \text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \). Число находится в третьем квадранте, поэтому \( \varphi_1 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \).

Таким образом:

\[ z_1 = 12 e^{i \frac{4\pi}{3}} \]

3.2. Для \( z_2 = -1 - i \)

• Модуль \( r_2 = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \)
• Аргумент \( \varphi_2 = \text{arctg}\left(\frac{-1}{-1}\right) = \text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4} \). Число находится в третьем квадранте, поэтому \( \varphi_2 = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \).

Таким образом:

\[ z_2 = \sqrt{2} e^{i \frac{5\pi}{4}} \]

4. Выполнение действий

a) \( z_1 * z_2 \)

Для перемножения:

\[ z_1 * z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} \] \[ = 12 \sqrt{2} e^{i\left(\frac{4\pi}{3} + \frac{5\pi}{4}\right)} \]

Сложим углы (приведя к общему знаменателю):

\[ \frac{4\pi}{3} = \frac{16\pi}{12}, \quad \frac{5\pi}{4} = \frac{15\pi}{12} \Rightarrow \frac{16\pi}{12} + \frac{15\pi}{12} = \frac{31\pi}{12} \]

Таким образом:

\[ z_1 * z_2 = 12\sqrt{2} e^{i\frac{31\pi}{12}} \]

6) \( z_2^4 \)

Используя формулу \( z^n = r^n e^{i n \varphi} \):

\[ z_2^4 = (\sqrt{2})^4 e^{i 4 \cdot \frac{5\pi}{4}} = 4 e^{i 5\pi} = 4(-1) = -4 \]

Это основные сведения и решения для ваших задач. Надеюсь, это поможет вам успешно подготовиться к вашим экзаменам!