Сколько различных целых чисел удовлетворяет неравенству: x 2 − 8 x − 24 < 0 x 2 −8x−24<0 ?
Чтобы решить неравенство \( x^2 - 8x - 24 < 0 \), нам сначала нужно найти корни соответствующего уравнения:
\[ x^2 - 8x - 24 = 0 \]
Для нахождения корней можно использовать формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \( a = 1 \), \( b = -8 \), \( c = -24 \). Подставим значения в формулу:
- Находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 64 + 96 = 160 \]
- Теперь находим корни:
\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{160}}{2} \]
Упростим \(\sqrt{160}\):
\[ \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10} \]
Теперь подставим это значение в формулу:
\[ x = \frac{8 \pm 4\sqrt{10}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{10} \]
Таким образом, корни уравнения:
\[ x_1 = 4 - 2\sqrt{10} \quad \text{и} \quad x_2 = 4 + 2\sqrt{10} \]
Теперь нужно определить, где выражение \(x^2 - 8x - 24\) меньше нуля. Данное выражение - парабола, открытая вверх, и она меняет знак на промежутках между корнями.
Следовательно, неравенство \(x^2 - 8x - 24 < 0\) будет выполняться для:
\[ 4 - 2\sqrt{10} < x < 4 + 2\sqrt{10} \]
Теперь, чтобы найти количество целых чисел в этом интервале, нам нужно вычислить значения:
- \(4 - 2\sqrt{10} \approx 4 - 6.32 \approx -2.32\)
- \(4 + 2\sqrt{10} \approx 4 + 6.32 \approx 10.32\)
Итак, целые числа, которые находятся в этом интервале:
\[ -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \]
Получаем, что это целые числа от \(-2\) до \(10\). Теперь посчитаем их количество:
- От \(-2\) до \(10\) включительно — это \(10 - (-2) + 1 = 13\) целых чисел.
Таким образом, количество различных целых чисел, которые удовлетворяют данному неравенству, равно 13.
