AC=4, угол BAC=75°, угол ABC=60°. Найдите AB

Чтобы найти сторону AB в треугольнике ABC, где AC = 4, угол BAC = 75° и угол ABC = 60°, мы можем использовать теорему синусов.

Сначала найдем угол ACB: Угол ACB можно найти, вычитая известные углы из 180°: \[ \angle ACB = 180° - \angle BAC - \angle ABC = 180° - 75° - 60° = 45°. \]

Теперь у нас есть все углы и одна сторона. Мы используем теорему синусов, которая утверждает, что отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника:

\[ \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}. \]

Подставим известные значения: \[ \frac{AB}{\sin(45°)} = \frac{4}{\sin(60°)}. \]

Значения синусов равны: \(\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Подставляем эти значения в уравнение: \[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}. \]

Упрощаем правую часть: \[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}. \]

Теперь умножим обе стороны на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\): \[ AB = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}. \]

Если нужно представить ответ в более удобной форме, можно умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \[ AB = \frac{4\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{6}}{3}. \]

Таким образом, длина стороны AB равна \(\frac{4\sqrt{6}}{3}\).