Найти касательную и нормаль при t=1 x=2t-1
Чтобы найти касательную и нормаль к графику функции в точке, заданной параметром \( t \), сначала нужно определить координаты точки на графике и производные.
Найдём координаты точки. Для \( t = 1 \): \[ x = 2t - 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1. \] Таким образом, для \( t = 1 \), \( x = 1 \).
Определим производную функции. Учитывая, что \( y = f(t) \) можно предположить, что \( y \) задана по аналогии. Если \( y \) не задана, а только \( x \), то обычно требуется дополнительная переменная, например, можно выразить \( y \) как функции от \( t \). Пожалуйста, уточните, если есть зависимости. Если предположить, что функция \( y \) также выражается через \( t \), например, \( y = t^2 \), тогда:
\[ \frac{dx}{dt} = 2 \quad \text{(производная по \( t \))} \]
Найдём касательную. Угол наклона касательной равен производной, поэтому подставим \( t = 1 \). Если производная \( \frac{dy}{dx} \) равна \( m \): \[ m = \frac{dy}{dt} \bigg/ \frac{dx}{dt} = \frac{2}{2} = 1. \] Уравнение касательной в точке \( (1, y(1)) \): \[ y - y(1) = m(x - 1). \] Подставляем \( m = 1 \) и находим \( y(1) \), если \( y = t^2 \): \[ y(1) = 1^2 = 1 \implies y - 1 = (x - 1) \implies y = x. \]
Найдём нормаль. Угол наклона нормали будет равен отрицательному обратному наклону касательной: \[ k = -\frac{1}{m} = -1. \] Уравнение нормали: \[ y - 1 = -1(x - 1) \implies y = -x + 2. \]
Таким образом, у вас есть уравнения касательной и нормали:
- Касательная: \( y = x \)
- Нормаль: \( y = -x + 2 \)
Если есть вопросы или нужно уточнить дополнительные детали, пожалуйста, дайте знать!
