276. Решите уравнение, используя введение новой a) (2x ^ 2 + 3) ^ 2 - 12(2x ^ 2 + 3) + 11 = 0 6) (t ^ 2 - 2t) ^ 2 - 3 = 2(t ^ 2 - 2t) в) (x ^ 2 + x - 1)(x ^ 2 + x + 2) = 40 г) (2x ^ 2 + x - 1)(2x ^ 2 + x - 4) + 2 = 0

Давайте решим каждое из приведённых уравнений поочерёдно.

a) \((2x^2 + 3)^2 - 12(2x^2 + 3) + 11 = 0\)

Сначала введём новую переменную: \( u = 2x^2 + 3 \).

Тогда уравнение примет вид: \[ u^2 - 12u + 11 = 0. \]

Теперь используем формулу для решения квадратного уравнения: \[ u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 1, b = -12, c = 11 \).

Подставим значения: \[ u = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 44}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{12 \pm 10}{2}. \]

Решения будут:

1. \( u_1 = \frac{22}{2} = 11 \),
2. \( u_2 = \frac{2}{2} = 1 \).

Теперь возвращаемся к переменной \( x \):

1. Если \( u = 11 \): \[ 2x^2 + 3 = 11 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2. \]

2. Если \( u = 1 \): \[ 2x^2 + 3 = 1 \Rightarrow 2x^2 = -2. \] Здесь решений нет, так как \( x^2 \) не может быть отрицательным.

Таким образом, мы имеем два решения \( x = 2 \) и \( x = -2 \).

б) \((t^2 - 2t)^2 - 3 = 2(t^2 - 2t)\)

Введём новую переменную: \( v = t^2 - 2t \).

Теперь уравнение можно записать как: \[ v^2 - 3 = 2v \Rightarrow v^2 - 2v - 3 = 0. \]

Решим это квадратное уравнение: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}. \]

Решения:

1. \( v_1 = \frac{6}{2} = 3 \),
2. \( v_2 = \frac{-2}{2} = -1 \).

Теперь возвращаемся к переменной \( t \):

1. Если \( v = 3 \): \[ t^2 - 2t = 3 \Rightarrow t^2 - 2t - 3 = 0 \Rightarrow (t - 3)(t + 1) = 0. \] Таким образом, \( t = 3 \) и \( t = -1 \).

2. Если \( v = -1 \): \[ t^2 - 2t = -1 \Rightarrow t^2 - 2t + 1 = 0 \Rightarrow (t - 1)^2 = 0. \] Здесь \( t = 1 \).

Итак, итоговые решения: \( t = 3, t = -1, t = 1 \).

в) \((x^2 + x - 1)(x^2 + x + 2) = 40\)

Перепишем уравнение: \[ (x^2 + x - 1)(x^2 + x + 2) - 40 = 0. \]

Для упрощения введём новую переменную: \( w = x^2 + x \).

Тогда уравнение будет выглядеть так: \[ (w - 1)(w + 2) - 40 = 0 \Rightarrow w^2 + w - 2 - 40 = 0 \Rightarrow w^2 + w - 42 = 0. \]

Теперь решаем это квадратное уравнение: \[ w = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 \pm 13}{2}. \]

Решения:

1. \( w_1 = \frac{12}{2} = 6 \),
2. \( w_2 = \frac{-14}{2} = -7 \).

Теперь возвращаемся к \( x \):

1. Если \( w = 6 \): \[ x^2 + x - 6 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 2 \) или \( x = -3 \). 2. Если \( w = -7 \): \[ x^2 + x + 7 = 0. \] Здесь данный квадрат не имеет действительных корней (дискриминант отрицательный).

Таким образом, решения \( x = 2 \) и \( x = -3 \).

г) \((2x^2 + x - 1)(2x^2 + x - 4) + 2 = 0\)

Решим это уравнение, введя новую переменную: \( z = 2x^2 + x \).

Тогда уравнение трансформируется в: \[ (z - 1)(z - 4) + 2 = 0 \Rightarrow z^2 - 5z + 4 + 2 = 0 \Rightarrow z^2 - 5z + 6 = 0. \]

Решим это квадратное уравнение: \[ z = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}. \]

Решения:

1. \( z_1 = \frac{6}{2} = 3 \),
2. \( z_2 = \frac{4}{2} = 2 \).

Теперь возвращаемся к переменной \( x \):

1. Если \( z = 3 \): \[ 2x^2 + x = 3 \Rightarrow 2x^2 + x - 3 = 0. \] Решаем: \( (2x + 3)(x - 1) = 0 \) или \( x = 1 \) и \( x = -\frac{3}{2} \).

2. Если \( z = 2 \): \[ 2x^2 + x = 2 \Rightarrow 2x^2 + x - 2 = 0. \] Для этого уравнения: \( (2x + 2)(x - 1) = 0 \) или \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

Таким образом, итоговые решения: \( x = 1, x = -\frac{3}{2}, x = -1 \).

Если нужны дальнейшие разъяснения по каждому шагу, не стесняйтесь спрашивать!