Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 , а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника.
Для решения задачи начнем с того, что в прямоугольном треугольнике, где один из углов равен 60 градусов, мы можем воспользоваться тригонометрическими свойствами.
Обозначим гипотенузу как \( c \), меньший из катетов как \( a \) и больший катет как \( b \). Так как угол 60 градусов является острым углом, можем воспользоваться следующими соотношениями:
- \( a = c \cdot \cos(60^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} \)
- \( b = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Согласно условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26,4 см:
\[ c + a = 26,4 \]
Подставим выражение для \( a \):
\[ c + \frac{c}{2} = 26,4 \]
Теперь объединим дроби:
\[ \frac{2c}{2} + \frac{c}{2} = 26,4 \] \[ \frac{3c}{2} = 26,4 \]
Чтобы найти \( c \), умножим обе стороны на 2:
\[ 3c = 52,8 \]
Теперь разделим на 3:
\[ c = \frac{52,8}{3} = 17,6 \text{ см} \]
Теперь мы можем найти меньший катет \( a \):
\[ a = c \cdot \frac{1}{2} = 17,6 \cdot \frac{1}{2} = 8,8 \text{ см} \]
Итак, гипотенуза \( c \) равна 17,6 см.
