Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АР, если АК=4, АВ=8

Для решения задачи необходимо использовать теорему о секущей и касательной. Согласно этой теореме, если из точки А, находящейся вне окружности, проведены касательная АВ и секущая АК, то выполняется следующее равенство:

\[ AB^2 = AK \cdot AP \]

Где:

• \( AB \) — длина касательной отрезка,
• \( AK \) — длина секущего отрезка от А до первой точки пересечения с окружностью (точка К),
• \( AP \) — длина отрезка от А до второй точки пересечения с окружностью (точка Р).

В данном случае мы знаем:

• \( AK = 4 \)
• \( AB = 8 \)

Теперь подставим известные значения в уравнение:

\[ 8^2 = 4 \cdot AP \]

Посчитаем \( 8^2 \):

\[ 64 = 4 \cdot AP \]

Теперь разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти \( AP \):

\[ AP = \frac{64}{4} = 16 \]

Таким образом, длина отрезка \( AP \) равна 16.

Ответ: длина отрезка \( АР = 16 \).