Исследовать на непрерывность и найти точки разрывной схематично построить графики x^2x, при x≤1 y={2-x, при 1<x≤2 4-x^2, при x≥2

Для исследования функции на непрерывность необходимо определить её определение на различных интервалах, а затем проверить, существуют ли разрывы на границах этих интервалов. Давайте рассмотрим вашу функцию:

\[ y = \begin{cases} x^2, & \text{при } x \leq 1 \\ 2 - x, & \text{при } 1 < x \leq 2 \\ 4 - x^2, & \text{при } x \geq 2 \end{cases} \]

Теперь найдем значения функции в точках разбиения (1 и 2):

1. При \(x = 1\):

   • Сначала находим значение функции с левой стороны: \[ y(1) = 1^2 = 1 \]
   • Теперь находим значение функции с правой стороны: \[ \lim_{x \to 1^+} y = 2 - 1 = 1 \]
   • Поскольку значения функции слева и справа совпадают и равны \(1\), функция непрерывна в точке \(x = 1\).

2. При \(x = 2\):

   • Значение функции с левой стороны: \[ \lim_{x \to 2^-} y = 2 - 2 = 0 \]
   • Значение функции с правой стороны: \[ y(2) = 4 - 2^2 = 4 - 4 = 0 \]
   • И здесь значения функции совпадают и равны \(0\), значит, функция непрерывна и в точке \(x = 2\).

Таким образом, функция непрерывна на всей области определения.

Теперь давайте построим график функции:

1. Для \(x \leq 1\), график будет параболой \(y = x^2\).
2. Для \(1 < x \leq 2\) график будет линейным \(y = 2 - x\).
3. Для \(x \geq 2\) график также будет параболой \(y = 4 - x^2\).

График будет выглядеть следующим образом:

• В точке \(x = 1\) соединяются парабола и прямая.
• В точке \(x = 2\) соединяются прямая и другая парабола.

Вы можете нарисовать эти участки на одной координатной плоскости, соблюдая указанные выше правила для соответствующих интервалов.

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется разъяснение, не стесняясь задавайте!