треугольник ABC, угол C равен 90° , CH высота, AB=13, tg угла A=5, найти BH

Рассмотрим треугольник ABC, где угол C равен 90°, и CH — высота, проведённая из вершины C на сторону AB. Дано, что AB = 13, а тангенс угла A (tg A) равен 5.

1. Поскольку угол C прямо, треугольник ABC — прямоугольный, и можем использовать свойства прямоугольного треугольника.

2. Из определения тангенса мы знаем, что tg A = противолежащий катет / прилежащий катет. Обозначим:

   • AC — противолежащий катет (по отношению к углу A),
   • BC — прилежащий катет.

   У нас есть tg A = 5, значит: \[ \frac{AC}{BC} = 5 \implies AC = 5 \cdot BC \]

3. Теперь используем теорему Пифагора для треугольника ABC: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим AP = 13: \[ 13^2 = (5 \cdot BC)^2 + BC^2 \] \[ 169 = 25 \cdot BC^2 + BC^2 \] \[ 169 = 26 \cdot BC^2 \] \[ BC^2 = \frac{169}{26} = \frac{169}{26} \approx 6.5 \implies BC = \sqrt{6.5} \approx 2.55 \]

4. Теперь найдём катет AC: \[ AC = 5 \cdot BC \approx 5 \cdot 2.55 \approx 12.75 \]

5. Для нахождения BH, где H — проекция точки C на сторону AB, мы можем воспользоваться свойством высоты в прямоугольном треугольнике: \[ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} \] \[ CH = \frac{12.75 \cdot 2.55}{13} \approx \frac{32.4375}{13} \approx 2.5 \]

6. Чтобы найти BH, воспользуемся следующим соотношением: \[ BH = AB - AH \] Здесь AH можно найти из: \[ AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{(12.75)^2}{13} \approx \frac{162.5625}{13} \approx 12.5 \]

7. Таким образом, BH: \[ BH = AB - AH = 13 - 12.5 = 0.5 \]

Ответ: BH ≈ 0.5.