Известно, что a∈[0;2], b∈[0;2], c∈[0;2]. Докажите неравенство a/(4+b)+b/(4+c)+c/(4+a)⩽1

Чтобы доказать данное неравенство, воспользуемся методом математической индукции.

Пусть неравенство выполняется при n = k: a₁/(4+b₁) + b₁/(4+c₁) + c₁/(4+a₁) ⩽ 1

Докажем, что оно верно для n = k+1: a₂/(4+b₂) + b₂/(4+c₂) + c₂/(4+a₂) ⩽ 1

Рассмотрим первое слагаемое в левой части: a₂/(4+b₂) = (a₁ + 1)/(4+b₂)

Подставим это выражение в неравенство и упростим: (a₁ + 1)/(4+b₂) + b₂/(4+c₂) + c₂/(4+a₂) ⩽ 1 (a₁ + 1)(4+c₂)(4+a₂) + b₂(4+a₂)(4+b₂) + c₂(4+b₂)(4+c₂) ⩽ (4+b₂)(4+c₂)(4+a₂)

Раскроем скобки: (4+c₂)(4+a₂)a₁ + (4+c₂)(4+a₂) + b₂(4+a₂)(4+b₂) + c₂(4+b₂)(4+c₂) ⩽ (4+b₂)(4+c₂)(4+a₂)

Поскольку а, b, c ∈ [0;2], то (4+c₂)(4+a₂) ⩽ 16 и (4+b₂)(4+c₂) ⩽ 16.

Также, учитывая, что a₁/(4+b₂) + b₂/(4+c₂) + c₂/(4+a₂) ⩽ 1 при n = k, получаем: (4+c₂)(4+a₂)a₁ + (4+c₂)(4+a₂) + b₂(4+a₂)(4+b₂) + c₂(4+b₂)(4+c₂) ⩽ 16 + 16 + c₂(4+a₂)(4+b₂) + c₂(4+b₂)(4+c₂) ⩽ 32 + c₂(4+a₂)(4+b₂) + c₂(4+b₂)(4+c₂)

Таким образом, нужно доказать, что c₂(4+a₂)(4+b₂) + c₂(4+b₂)(4+c₂) ⩽ 16.

Рассмотрим первое слагаемое: c₂(4+a₂)(4+b₂) = c₂(16 + 4(a₂ + b₂) + a₂b₂)

Поскольку a, b, c ∈ [0;2], то a₂, b₂ ⩽ 2, и выполняются следующие неравенства: 4(a₂ + b₂) ⩽ 16 и a₂b₂ ⩽ 4.

Тогда: c₂(4+a₂)(4+b₂) ⩽ c₂(16 + 4 + 4) c₂(4+a₂)(4+b₂) ⩽ 24c₂

Рассмотрим второе слагаемое: c₂(4+b₂)(4+c₂) = c₂(16 + 4(b₂ + c₂) + b₂c₂)

Аналогично, поскольку b₂, c₂ ⩽ 2: 4(b₂ + c₂) ⩽ 16 и b₂c₂ ⩽ 4.

Тогда: c₂(4+b₂)(4+c₂) ⩽ c₂(16 + 4 + 4) c₂(4+b₂)(4+c₂) ⩽ 24c₂

Таким образом, сумма этих двух слагаемых ≤ 24c₂ + 24c₂ = 48c₂.

Осталось доказать, что 48c₂ ⩽ 16.

Поскольку c ∈ [0;2], то 48c₂ ⩽ 48 * 2 = 96.

Таким образом, выполняется: 48c₂ ⩽ 96 ⩽ 16.

Поэтому неравенство a₂/(4+b₂) + b₂/(4+c₂) + c₂/(4+a₂) ⩽ 1 верно и при n = k+1.

Исходя из принципа математической индукции, данное неравенство выполняется для любого n.