Известно, что a∈[0;2], b∈[0;2], c∈[0;2]. Докажите неравенство a/(4+b)+b/(4+c)+c/(4+a)⩽1 при помощи основных методов доказательства неравенств

Чтобы доказать неравенство a/(4+b) + b/(4+c) + c/(4+a) ≤ 1, мы можем использовать метод доказательства по противоречию. Допустим, что данное неравенство не выполняется, то есть a/(4+b) + b/(4+c) + c/(4+a) > 1.

Распишем это выражение: a/(4+b) + b/(4+c) + c/(4+a) > 1 (a(4+c) + b(4+a) + c(4+b))/((4+b)(4+c)(4+a)) > 1 (a(4+c)(4+a) + b(4+a)(4+b) + c(4+b)(4+c))/((4+b)(4+c)(4+a)) > 1

Раскроем скобки и упростим: (a(16+4a+4c+ac) + b(16+4a+4b+ab) + c(16+4b+4c+bc))/((4+b)(4+c)(4+a)) > 1 (8a + 4a^2 + 4ac + ac^2 + 8b + 4ab + 4b^2 + ab^2 + 8c + 4bc + 4c^2 + bc^2)/(64 + 16a + 16b + 16c + 4ab + 4ac + 4bc + abc) > 1

Далее, упростим и оставим только положительные члены в числителе: 8a + 4a^2 + 4ac + ac^2 + 8b + 4ab + 4b^2 + ab^2 + 8c + 4bc + 4c^2 + bc^2 > 64 + 16a + 16b + 16c + 4ab + 4ac + 4bc + abc

Теперь запишем это неравенство в обратном порядке, чтобы составить положительное выражение: 64 + 16a + 16b + 16c + 4ab + 4ac + 4bc + abc < 8a + 4a^2 + 4ac + ac^2 + 8b + 4ab + 4b^2 + ab^2 + 8c + 4bc + 4c^2 + bc^2

После сокращения и упрощения получим: 64 < 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + a^2b + ab^2 + bc^2 + ca^2 + cb^2 + ac^2 + abc

Заметим, что все слагаемые в правой части неравенства неотрицательны, так как все переменные a, b, c принадлежат промежутку [0;2].

Тогда получаем противоречие, так как левая часть неравенства 64 всегда больше или равна правой части.

Таким образом, наше предположение было неверным, и неравенство a/(4+b) + b/(4+c) + c/(4+a) ≤ 1 доказано.