Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна 2√22 ,а катет BС равен 6 см .найдите длину медианы BK

Чтобы найти длину медианы \( BK \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \) с гипотенузой \( AB = 2\sqrt{22} \) и катетом \( BC = 6 \) см, воспользуемся формулой для длины медианы.

Длина медианы, проведённой к гипотенузе, вычисляется по формуле:

\[ BK = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2} \]

Для начала, найдем длину второго катета \( AC \). В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим известные значения:

\[ (2\sqrt{22})^2 = AC^2 + 6^2 \]

Это даёт:

\[ 4 \cdot 22 = AC^2 + 36 \]

\[ 88 = AC^2 + 36 \]

Теперь решим уравнение относительно \( AC^2 \):

\[ AC^2 = 88 - 36 = 52 \]

Таким образом, длина катета \( AC \) равна:

\[ AC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

Теперь подставим значения \( AB \), \( AC \) и \( BC \) в формулу для длины медианы \( BK \):

\[ BK = \frac{1}{2} \sqrt{2(2\sqrt{22})^2 + 2(2\sqrt{13})^2 - 6^2} \]

Посчитаем:

\[ BK = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 88 + 2 \cdot 52 - 36} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{176 + 104 - 36} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{244} \] \[ = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{61} = \sqrt{61} \]

Таким образом, длина медианы \( BK \) равна \( \sqrt{61} \) см.