Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см.

Чтобы найти площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см, необходимо сначала понять, как соотносятся радиус круга и сторона шестиугольника.

1. Определим радиус вписанного круга. В правильном шестиугольнике радиус вписанного круга (\( r \)) равен к половине высоты любого из его треугольников, основание которых – сторона шестиугольника.

   Высота равностороннего треугольника со стороной \( a \) (в данном случае \( a = 10 \) см) вычисляется по формуле: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10 \, \text{см} = 5\sqrt{3} \, \text{см} \]

   Радиус вписанного круга: \[ r = \frac{h}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \, \text{см} \]

2. Теперь найдем площадь круга. Площадь круга вычисляется по формуле: \[ S = \pi r^2 \]

   Подставив значение радиуса: \[ S = \pi \left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \pi \cdot \frac{25 \cdot 3}{9} = \frac{75\pi}{9} = \frac{25\pi}{3} \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см, равна \(\frac{25\pi}{3} \, \text{см}^2\).