Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см.

Чтобы найти площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник, сначала нужно определить радиус этого круга.

Правильный шестиугольник может быть разбит на шесть равносторонних треугольников. Радиус вписанного круга равен радиусу этих треугольников (также это расстояние от центра шестиугольника до средней линии его стороны).

В правильном шестиугольнике со стороной \( a \) радиус вписанного круга (r) можно найти по формуле:

\[ r = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2} \]

Подставим значение длины стороны шестиугольника \( a = 10 \) см:

\[ r = \frac{10 \cdot \sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \text{ см} \]

Теперь, чтобы найти площадь круга, будем использовать формулу:

\[ S = \pi r^2 \]

Подставим значение радиуса \( r = 5 \sqrt{3} \):

\[ S = \pi (5 \sqrt{3})^2 = \pi (25 \cdot 3) = 75 \pi \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см, равна \( 75 \pi \) см².