а) у″ – у′ – 12 у = 0 у (0) = 0 у′ (0) = – 1
Давайте разберем ваше дифференциальное уравнение и начальные условия шаг за шагом.
Ваше уравнение имеет вид:
\[ y'' - y' - 12y = 0 \]
Сначала найдем характеристическое уравнение. Для этого предположим, что решение имеет вид \( y = e^{rt} \). Подставляя это в уравнение, мы получаем:
\[ r^2 - r - 12 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D \) будет равен:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]
Так как дискриминант положителен, у нас будут два различных действительных корня:
\[ r_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4 \] \[ r_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = -3 \]
Таким образом, общее решение однородного уравнения будет:
\[ y(t) = C_1 e^{4t} + C_2 e^{-3t} \]
Теперь применим начальные условия для определения произвольных постоянных \( C_1 \) и \( C_2 \).
\( y(0) = 0 \): \[ y(0) = C_1 e^{0} + C_2 e^{0} = C_1 + C_2 = 0 \] Следовательно: \[ C_1 + C_2 = 0 \quad (1) \]
Теперь найдем производную \( y' \): \[ y' = 4C_1 e^{4t} - 3C_2 e^{-3t} \]
Используем второе начальное условие \( y'(0) = -1 \): \[ y'(0) = 4C_1 - 3C_2 = -1 \quad (2) \]
Теперь у нас есть система линейных уравнений:
Из уравнения (1): \( C_2 = -C_1 \).
Подставляем \( C_2 \) в уравнение (2): \[ 4C_1 - 3(-C_1) = -1 \] \[ 4C_1 + 3C_1 = -1 \] \[ 7C_1 = -1 \] \[ C_1 = -\frac{1}{7} \]
Теперь подставим \( C_1 \) в уравнение (1): \[ -\frac{1}{7} + C_2 = 0 \implies C_2 = \frac{1}{7} \]
Таким образом, можем подставить значения \( C_1 \) и \( C_2 \) в общее решение:
\[ y(t) = -\frac{1}{7} e^{4t} + \frac{1}{7} e^{-3t} \]
Это и есть окончательное решение вашего дифференциального уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
