Напиши решение неравенства как учитель: x²≤49

Решим неравенство \( x^2 \leq 49 \) пошагово.

1. Перепишем неравенство: Начнем с того, чтобы представить неравенство в виде, который будет удобен для анализа: \[ x^2 - 49 \leq 0 \]

2. Факторизуем левую часть: Выразим левую часть как произведение: \[ (x - 7)(x + 7) \leq 0 \]

3. Найдем нули: Определим, при каких значениях \( x \) произведение равно нулю: \[ x - 7 = 0 \quad \text{или} \quad x + 7 = 0 \] Это означает, что: \[ x = 7 \quad \text{или} \quad x = -7 \]

4. Построим числовую прямую: Теперь разместим найденные значения на числовой прямой: -7 < 0 < 7

   Это разделяет числовую прямую на три промежутка:

   1. \( (-\infty, -7) \)
   2. \( (-7, 7) \)
   3. \( (7, +\infty) \)

5. Определим знак произведения в каждом промежутке:

   • Для \( x < -7 \) (например, \( x = -8 \)): \(((-8) - 7)((-8) + 7) = (-15)(-1) = 15 > 0\)
   • Для \( -7 < x < 7 \) (например, \( x = 0 \)): \((0 - 7)(0 + 7) = (-7)(7) = -49 < 0\)
   • Для \( x > 7 \) (например, \( x = 8 \)): \((8 - 7)(8 + 7) = (1)(15) = 15 > 0\)

6. Сопоставим знаки с условием неравенства: Мы ищем, где произведение \((x - 7)(x + 7)\) меньше или равно нулю. Это выполняется для промежутка: \[ -7 \leq x \leq 7 \]

7. Запишем окончательный ответ: Итак, решение неравенства \( x^2 \leq 49 \) в интервале: \[ [-7, 7] \]

Это значит, что все значения \( x \) от -7 до 7 включительно удовлетворяют данному неравенству.