У″ – 6 у′ + 9 у = 0 у (0) = 0 у′ (0) = 2
Чтобы решить дифференциальное уравнение \( y'' - 6y' + 9y = 0 \) с начальными условиями \( y(0) = 0 \) и \( y'(0) = 2 \), начнем с нахождения характеристического уравнения.
Характеристическое уравнение получается из замены \( y'' \) на \( r^2 \), \( y' \) на \( r \) и \( y \) на \( 1 \):
\[ r^2 - 6r + 9 = 0 \]
Это уравнение можно решить с помощью дискриминанта:
\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0 \]
Так как дискриминант равен нулю, у нас есть один двойной корень:
\[ r = \frac{6}{2} = 3 \]
Это значит, что общее решение нашего уравнения имеет вид:
\[ y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{3t} \]
Теперь применим начальные условия для нахождения констант \( C_1 \) и \( C_2 \).
- Используем первое начальное условие \( y(0) = 0 \):
\[ y(0) = (C_1 + C_2 \cdot 0)e^{3 \cdot 0} = C_1 = 0 \]
Это показывает, что \( C_1 = 0 \). Подставляем в общее решение:
\[ y(t) = C_2 t e^{3t} \]
- Теперь используем второе начальное условие \( y'(0) = 2 \) для нахождения \( C_2 \). Сначала найдем производную \( y(t) \):
\[ y'(t) = C_2(e^{3t} + 3te^{3t}) \]
Теперь подставим \( t = 0 \):
\[ y'(0) = C_2(e^{3 \cdot 0} + 3 \cdot 0 \cdot e^{3 \cdot 0}) = C_2 \cdot 1 = C_2 \]
Согласно второму начальному условию:
\[ C_2 = 2 \]
Таким образом, окончательное решение уравнения:
\[ y(t) = 2te^{3t} \]
Мы нашли решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. Если у вас есть ещё вопросы или если что-то осталось непонятным, не стесняйтесь спрашивать!
