У″ + 4 у′ + 5 у = 0 у (0) = 1 у′ (0) = 1
Чтобы решить задачу о дифференциальном уравнении \( y'' + 4y' + 5y = 0 \) с начальными условиями \( y(0) = 1 \) и \( y'(0) = 1 \), начнем с нахождения общего решения уравнения.
Первым шагом будет поиск характеристического уравнения. Уравнение имеет вид: \[ r^2 + 4r + 5 = 0 \]
Найдем корни характеристического уравнения с помощью формулы для квадратного уравнения: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 4 \), и \( c = 5 \). Подставим значения: \[ r = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-4 \pm 2i}{2} = -2 \pm i \]
Корни \( r_1 = -2 + i \) и \( r_2 = -2 - i \) являются комплексными. Общее решение уравнения имеет вид: \[ y(t) = e^{-2t}(C_1 \cos(t) + C_2 \sin(t)) \]
Теперь нужно применить начальнe условия для нахождения констант \( C_1 \) и \( C_2 \).
- Из условия \( y(0) = 1 \): \[ y(0) = e^{0}(C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0)) = C_1 = 1 \]
Таким образом, \( C_1 = 1 \).
- Теперь применим второе начальное условие \( y'(0) = 1 \). Для этого найдем производную \( y'(t) \): \[ y'(t) = \frac{d}{dt}[e^{-2t}(C_1 \cos(t) + C_2 \sin(t))] \]
Применим правило произведения: \[ y'(t) = e^{-2t}(-2(C_1 \cos(t) + C_2 \sin(t)) + C_1(-\sin(t)) + C_2 \cos(t)) \]
Подставив \( C_1 = 1 \) и выразив \( y'(0) \): \[ y'(0) = e^{0}(-2(1) + C_2) = -2 + C_2 \] Условие \( y'(0) = 1 \) дает: \[ -2 + C_2 = 1 \implies C_2 = 3 \]
Таким образом, константы равны \( C_1 = 1 \) и \( C_2 = 3 \). Подставим их в общее решение: \[ y(t) = e^{-2t}(\cos(t) + 3\sin(t)) \]
Это общее решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. Если вам нужна дополнительная помощь или пояснения по другим вопросам, не стесняйтесь спрашивать!
