Решите уравнение 3x^2(x-1)(x+1)-10x^2+4=0
Давайте решим уравнение:
\[ 3x^2(x-1)(x+1) - 10x^2 + 4 = 0. \]
Сначала упростим выражение. Раскроем скобки:
\[ 3x^2(x^2 - 1) = 3x^4 - 3x^2. \]
Теперь подставим это в уравнение:
\[ 3x^4 - 3x^2 - 10x^2 + 4 = 0. \]
Объединим подобные члены:
\[ 3x^4 - 13x^2 + 4 = 0. \]
Теперь сделаем замену: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение преобразуется в:
\[ 3y^2 - 13y + 4 = 0. \]
Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ay^2 + by + c = 0 \):
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 3 \), \( b = -13 \), \( c = 4 \).
Подставим значения:
\[ y = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}. \]
Вычислим дискриминант:
\[ D = 169 - 48 = 121. \]
Теперь подставим дискриминант:
\[ y = \frac{13 \pm \sqrt{121}}{6} = \frac{13 \pm 11}{6}. \]
Теперь решим для двух случаев:
- \( y = \frac{24}{6} = 4 \)
- \( y = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
Теперь вернемся к переменной \( x \):
- Если \( y = 4 \), то \( x^2 = 4 \) => \( x = 2 \) или \( x = -2 \).
- Если \( y = \frac{1}{3} \), то \( x^2 = \frac{1}{3} \) => \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \) или \( x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \).
Таким образом, окончательные решения уравнения:
\[ x = 2, \quad x = -2, \quad x = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad x = -\frac{1}{\sqrt{3}}. \]
