Конечно! Давайте разберем предложенные предложения по частям, расставим знаки препинания, обозначим зависимость деепричастий и деепричастных оборотов от глаголов, а также подчеркнем их как члены предложения.
Я не почёл нужным оспоривать мнение казака и, с ним вместе отправившись, (вводное слово) заранее воображал себе свидание с Пугачёвым...
- Зависимость: "отправившись" зависит от "отправился" (я отправился).
Наконец, однажды утром, Савельич вошёл ко мне, держа в руках письмо.
- Зависимость: "держа" зависит от "вошёл" (он вошёл).
Вдруг ямщик стал посматривать в сторону и, наконец, сняв шапку, (вводное слово) оборотился ко мне и сказал: «Барин, не прикажешь ли воротиться?»
- Зависимость: "сняв" зависит от "оборотился" (он оборотился).
Проснувшись, (вводное слово) я подозвал Савельича и вместо его увидел перед собою Марью Ивановну.
- Зависимость: "проснувшись" зависит от "я" (я проснулся).
Возвратясь к коменданту, (вводное слово) я, по обыкновению своему, подсел к Марье Ивановне.
- Зависимость: "возвратясь" зависит от "я" (я возвратился).
Очнувшись, (вводное слово) я несколько времени не мог опомниться и не понимал, что со мною сделалось.
- Зависимость: "очнувшись" зависит от "я" (я очнулся).
Я сел в кибитку с Савельичем и отправился в дорогу, обливаясь слезами.
- Зависимость: "обливаясь" зависит от "я" (я отправился).
Теперь о том, как в предложении с деепричастным оборотом основное и добавочное действие производится одним и тем же лицом:
Например, в предложении "Я отправился, воображая себе свидание с Пугачёвым" оба действия - "отправился" и "воображая" - выполняет одно и то же лицо: «я». Таким образом, здесь нет разных субъектов, и это подтверждает, что деепричастный оборот связан с главным глаголом через это общее лицо.