Решите неравенство : sinП/4 cosx+cosП/4 sinx>1/2

Чтобы решить неравенство \( \sin \frac{\pi}{4} \cos x + \cos \frac{\pi}{4} \sin x > \frac{1}{2} \), начнем с учета значений \( \sin \frac{\pi}{4} \) и \( \cos \frac{\pi}{4} \). Мы знаем, что

\[ \sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Поэтому неравенство можно записать как:

\[ \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x > \frac{1}{2}. \]

Теперь можно вынести общий множитель:

\[ \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos x + \sin x) > \frac{1}{2}. \]

Умножим обе стороны на \( \frac{2}{\sqrt{2}} \) (что не изменит знак неравенства, так как \( \frac{2}{\sqrt{2}} > 0 \)):

\[ \cos x + \sin x > \frac{1}{\sqrt{2}}. \]

Теперь мы вспомним, что \( \cos x + \sin x \) можно переписать в другом виде. Мы знаем, что:

\[ \cos x + \sin x = \sqrt{2} \left( \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \right), \]

где коэффициент \( \sqrt{2} \) следует из формулы сложения синусов. Таким образом, наше неравенство принимает вид:

\[ \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) > \frac{1}{\sqrt{2}}. \]

Умножив обе стороны на \( \frac{1}{\sqrt{2}} \), мы получаем:

\[ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) > \frac{1}{2}. \]

Решим неравенство \( \sin y > \frac{1}{2} \), где \( y = x + \frac{\pi}{4} \). Значения \( y \), при которых \( \sin y > \frac{1}{2} \), находятся в интервалах:

\[ y \in \left( \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Теперь вернемся к \( x \):

\[ x + \frac{\pi}{4} \in \left( \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \right). \]

Вычтем \( \frac{\pi}{4} \) из всех частей неравенства:

\[ x \in \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \right). \]

Упростим границы:

\[ \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi - 3\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}, \] \[ \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{10\pi - 3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}. \]

Таким образом, окончательно получаем:

\[ x \in \left( -\frac{\pi}{12} + 2k\pi, \frac{7\pi}{12} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Это решение нашего неравенства.