Find the number of integers $n$ that satisfy both of the inequalities $4n + 3 < 25$ and $-7n + 5 < 24$.

Необходимо найти количество целых чисел $n$, удовлетворяющих обоим неравенствам $4n + 3 < 25$ и $-7n + 5 < 24$.

Решим первое неравенство: $4n + 3 < 25$

Вычтем 3 из обеих частей: $4n < 22$

Разделим обе части на 4: $n < \frac{22}{4}$

$n < 5.5$

Получается, что $n$ должно быть менее 5.5.

Теперь решим второе неравенство: $-7n + 5 < 24$

Вычтем 5 из обеих частей: $-7n < 19$

Разделим обе части на -7. Обратите внимание, что мы должны изменить направление неравенства, поскольку делим на отрицательное число: $n > \frac{19}{-7}$

$n > -2.\bar{714}$

Таким образом, $n$ должно быть больше, чем -2.\bar{714}.

Теперь сравним два неравенства. Нам нужно найти целые числа $n$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно.

Мы знаем, что $n$ должно быть меньше 5.5 и больше -2.\bar{714}. Таким образом, возможными значениями $n$ будут -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Так что есть 8 целых чисел, которые удовлетворяют обоим неравенствам.