X^3+4x^2-x-12=0 Найти х

Чтобы решить уравнение \( x^3 + 4x^2 - x - 12 = 0 \), сначала можно попробовать найти рациональные корни, используя теорему о рациональных корнях.

Проверим простые значения (например, \( x = 2 \) и \( x = -3 \)):

1. Подставим \( x = 2 \):

\[ 2^3 + 4 \cdot 2^2 - 2 - 12 = 8 + 16 - 2 - 12 = 10 \quad \text{(не является корнем)} \]

2. Подставим \( x = -3 \):

\[ (-3)^3 + 4 \cdot (-3)^2 - (-3) - 12 = -27 + 36 + 3 - 12 = 0 \quad \text{(является корнем)} \]

Значит, \( x = -3 \) – корень уравнения. Теперь можем разложить кубическое уравнение на множители, используя найденный корень.

Разделим полином \( x^3 + 4x^2 - x - 12 \) на \( x + 3 \) с помощью деления многочленов.

После деления, получится:

\[ x^3 + 4x^2 - x - 12 = (x + 3)(x^2 + x - 4) \]

Теперь нужно решить квадратное уравнение \( x^2 + x - 4 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17 \]

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2} \]

Таким образом, все корни уравнения \( x^3 + 4x^2 - x - 12 = 0 \):

1. \( x_1 = -3 \)
2. \( x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \)
3. \( x_3 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} \)

Итак, корни уравнения: \[ x_1 = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_3 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} \]