8.1. В десятизначном числе пронумеровали слева направо все цифры числами от 1 до 10, после чего все цифры с чётными номерами в том же порядке переставили на первые пять мест, а все цифры с нечётными номерами в том же порядке переставили на последние 5 мест. Получившееся число совпало с исходным. Какое наибольшее количество различных цифр может быть в таком числе?

Задача интересная и требует внимательного анализа. Давайте разберем, какие цифры могут занимать места в десятизначном числе, которое удовлетворяет условиям перестановки.

Обозначим цифры числа как \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8, a_9, a_{10} \). Согласно условию, цифры на четных позициях (то есть \( a_2, a_4, a_6, a_8, a_{10} \)) будут занимать первые пять мест, а цифры на нечетных позициях (то есть \( a_1, a_3, a_5, a_7, a_9 \)) будут занимать последние пять мест. При этом, чтобы новое число совпало с исходным, должно выполняться следующее равенство:

\[ (a_2, a_4, a_6, a_8, a_{10}) = (a_1, a_3, a_5, a_7, a_9) \]

и

\[ (a_1, a_3, a_5, a_7, a_9) = (a_6, a_8, a_{10}, a_2, a_4) \]

Таким образом, каждый набор цифр должен включать одинаковые цифры, но в другом порядке.

Теперь давайте узнаем, сколько различных цифр может быть в числе. Цифры от 0 до 9 дают нам в общей сложности 10 различных цифр. Однако в нашем числе будет не менее 5 четных и 5 нечетных позиций, так как когда мы переставляем, четные не могут появиться на нечетных и наоборот.

Четные цифры: 0, 2, 4, 6, 8
Нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9

Таким образом, если мы используем все четные и все нечетные цифры, это дает нам 10 различных цифр. Однако, чтобы соблюсти условие, что порядок цифр должен совпадать после перестановки, мы можем использовать разные комбинации различных цифр, при этом соблюдая их четность.

Наибольшее количество различных цифр, которое может быть в таком числе, — это все 10 разных цифр. Но при этом они могут быть лишь распределены по вышеописанным правилам.

Таким образом, максимальное количество различных цифр в таком числе — 10.