Дано: ABCD - параллелограмм, A(-4; 1), B(-2; 5), C(6; 3). Найти: Координаты вершины D и точки пересечения диа- налей. Вычислите периметр параллелограмма.
Давайте разберёмся с задачей.
Мы имеем параллелограмм ABCD, где известны координаты трёх вершин:
- A(-4; 1)
- B(-2; 5)
- C(6; 3)
Для начала, чтобы найти координаты точки D, воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому векторы AB и CD равны по направлению и длине, и векторы AD и BC также равны. Можно воспользоваться формулой: \[ D = A + C - B \]
Подставляя координаты: \[ D_x = A_x + C_x - B_x = -4 + 6 - (-2) = -4 + 6 + 2 = 4 \] \[ D_y = A_y + C_y - B_y = 1 + 3 - 5 = 1 - 5 = -4 \] Таким образом, координаты точки D равны D(4; -4).
Теперь найдем точку пересечения диагоналей. Эта точка является серединой отрезка AC, которая будет найдена по формуле: \[ M_x = \frac{A_x + C_x}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ M_y = \frac{A_y + C_y}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Точка пересечения диагоналей (середина отрезка AC) будет M(1; 2).
Теперь вычислим периметр параллелограмма. Периметр вычисляется по формуле: \[ P = 2 \cdot (AB + BC) \]
Сначала найдем длины сторон AB и BC. Для нахождения длины отрезка AB используем формулу: \[ AB = \sqrt{(B_x - A_x)^2 + (B_y - A_y)^2} = \sqrt{((-2) - (-4))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]
Теперь найдем длину сторона BC: \[ BC = \sqrt{(C_x - B_x)^2 + (C_y - B_y)^2} = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{(8)^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \]
Теперь можем подсчитать периметр: \[ P = 2 \cdot (2\sqrt{5} + 2\sqrt{17}) = 4(\sqrt{5} + \sqrt{17}) \]
Итак, у нас есть:
- Координаты вершины D: D(4; -4)
- Координаты точки пересечения диагоналей: M(1; 2)
- Периметр параллелограмма: \( P = 4(\sqrt{5} + \sqrt{17}) \)
Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
