Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду

Чтобы найти больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную треугольную пирамиду, начнём с анализа условий задачи.

Имеется треугольная пирамида \(ABCD\) с объемом \(V = 15\). Плоскость проходит через одну из сторон основания \(ABC\) и пересекает боковое ребро \(AD\) в точке \(E\), которая делит это ребро в отношении \(1 : 2\) от вершины \(A\). Это значит, что \(AE:ED = 1:2\).

Поскольку объем пирамиды пропорционален высоте, мы можем использовать это свойство для нахождения искомых объемов.

1. Обозначим высоту пирамиды \(h\) и основание \(\triangle ABC\) как область с площадью \(S\). Тогда объем пирамиды можно выразить следующим образом:

\[ V = \frac{1}{3} S h = 15. \]

2. Плоскость, проходя через основание \(ABC\) и точку \(E\), разделяет пирамиду на две новые пирамиды: одна с вершиной \(A\) и основанием \(ABE\) (обозначим ее объем как \(V_1\)), а другая с основанием \(CDE\) (обозначим ее объем как \(V_2\)).

3. Соотношение высот новых пирамид будет определяться пропорцией деления точки \(E\). Высота пирамиды, основание которой состоит из точки \(A\) и плоскости, будет равна \(h_E = \frac{h}{3}\) (1 часть от 3), а высота другой пирамиды, основание которой состоит из точки \(CDE\), равна \(h - h_E = \frac{2h}{3}\) (2 части от 3).

4. Объемы новых пирамид можно выразить через соотношение их высот: \[ V_1 = \frac{1}{3} S h_E = \frac{1}{3} S \cdot \frac{h}{3} = \frac{15}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}, \] \[ V_2 = \frac{1}{3} S h - V_1 = 15 - V_1 = 15 - \frac{5}{3} = \frac{45}{3} - \frac{5}{3} = \frac{40}{3}. \]

5. Теперь сравним два объема: \[ V_1 = \frac{5}{3} \quad \text{и} \quad V_2 = \frac{40}{3}. \]

Таким образом, больший объем среди них \(V_2\): \[ \text{Больший объем пирамиды} = \frac{40}{3}. \]

Ответ: больший объем пирамиды, на которую плоскость разбивает исходную пирамиду, равен \(\frac{40}{3}\).