Секцию плавания посещает одинаковое количество девочек и мальчиков. Средний вес девочек составляет 48 , 2 48,2 кг, а дисперсия веса для девочек равна 2 , 4 2,4 кг 2 2 . Средний вес мальчиков составляет 54 , 6 54,6 кг, а дисперсия веса для мальчиков равна 4 , 6 4,6 кг 2 2 . Найди дисперсию веса для всех учеников.
Чтобы найти дисперсию веса для всех учеников, необходимо воспользоваться формулой для вычисления общей дисперсии при наличии двух групп (в данном случае девочек и мальчиков) с одинаковым количеством представителей в каждой группе.
Данные:
- Средний вес девочек (M1) = 48,2 кг
- Дисперсия веса девочек (D1) = 2,4 кг²
- Средний вес мальчиков (M2) = 54,6 кг
- Дисперсия веса мальчиков (D2) = 4,6 кг²
- Пусть количество девочек (и мальчиков) = n.
Формула для общей дисперсии: Дисперсия общей выборки (D) рассчитывается по формуле:
\[ D = \frac{n(D1 + (M1 - M)^2) + n(D2 + (M2 - M)^2)}{2n} \]
где \( M \) — общий средний вес всех учеников, который можно определить как среднее значение весов девочек и мальчиков:
\[ M = \frac{M1 + M2}{2} = \frac{48.2 + 54.6}{2} = 51.4 \, \text{кг} \]
Подстановка значений:
Теперь подставим найденное значение \( M \) в формулу:
\[ D = \frac{n(2.4 + (48.2 - 51.4)^2) + n(4.6 + (54.6 - 51.4)^2)}{2n} \]
Сначала вычтем разности и возведем в квадрат:
- \( (48.2 - 51.4)^2 = ( -3.2)^2 = 10.24 \)
- \( (54.6 - 51.4)^2 = (3.2)^2 = 10.24 \)
Теперь подставим это в формулу:
\[ D = \frac{n(2.4 + 10.24) + n(4.6 + 10.24)}{2n} \]
Упрощаем:
\[ D = \frac{n(12.64 + 14.84)}{2n} = \frac{n(27.48)}{2n} = \frac{27.48}{2} = 13.74 \, \text{кг²} \]
Таким образом, дисперсия веса для всех учеников составляет 13,74 кг².
