и
Привет! Давай разберём пример на фото. Нам нужно решить уравнение \(\sqrt{5x - 1} - 2 = \sqrt{x - 1}\).
Шаги решения:
Ограничения на переменные: Нужно, чтобы и подкоренные выражения были неотрицательны:
- \(5x - 1 \geq 0\) ⟹ \(x \geq \frac{1}{5}\)
- \(x - 1 \geq 0\) ⟹ \(x \geq 1\)
Пересечение этих ограничений: \(x \geq 1\).
Устранение корней: Возведём обе части уравнения во вторую степень для устранения корней: \[ (\sqrt{5x - 1} - 2)^2 = (\sqrt{x - 1})^2 \]
Это преобразуется в: \[ 5x - 1 - 4\sqrt{5x - 1} + 4 = x - 1 \]
Упростим: \[ 5x + 3 - 4\sqrt{5x - 1} = x \]
\[ 4x + 3 = 4\sqrt{5x - 1} \]
Изоляция корня: Перенесем корень в одну часть: \[ 4x + 3 = 4\sqrt{5x - 1} \]
Вторичное возведение в степень:
- Разделим на 4: \[ x + \frac{3}{4} = \sqrt{5x - 1} \]
- Возведём обе части во вторую степень ещё раз: \[ (x + \frac{3}{4})^2 = 5x - 1 \]
Полученное уравнение: Решаем квадратное уравнение и проверяем полученные значения, чтобы убедиться, что они соответствуют начальным ограничениям.
В процессе выполнения этих шагов мы найдём корни уравнения. Не забудь проверить, что все найденные решения удовлетворяют начальным ограничениям. Удачи!
