На стороне угла с вершиной в точке B отмечены точки A и C, а на его биссектрисе - точка D так, что угол ADB= углу CDB. докажите что AB=BC

Для доказательства равенства сторон \( AB \) и \( BC \) в данной задаче будем использовать свойства биссектрисы.

Пусть угол \( \angle ADB = \angle CDB \), по условию задачи. Это означает, что луч \( BD \) делит угол \( \angle ABC \) пополам.

Согласно свойству биссектрисы, в любом треугольнике, если биссектрису провести от вершины угла, то отношение длин противолежащих сторон этого угла равняется отношение длин отрезков, на которые эта биссектрисы делит противоположную сторону. В нашем случае это означает следующее:

1. Пусть \( AB \) и \( BC \) - стороны треугольника \( ADB \) и \( CDB \) соответственно.
2. Из свойства биссектрисы следует, что \[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}. \]

Однако, так как \( \angle ADB = \angle CDB \) и из этого свойства (так как угол \( D \) общий для треугольников \( ADB \) и \( CDB \)), мы можем сделать вывод о равенстве сторон.

Так как \( \angle ADB \) и \( \angle CDB \) равны, а также по общему углу и одной стороне, треугольники \( ADB \) и \( CDB \) подобны по угловой аналогии.

Таким образом, из подобия треугольников получаем следующее: \[ AB = BC. \]

Это завершает доказательство, и мы пришли к тому, что \( AB = BC \).