Определить угол между левой и правой касательными к кривой: а) y = sqrt(1 - e^(-a^2*x^2)) в точке x = 0; б) y = arcsin 2x/1+x^2 в точке x = 1

Чтобы определить угол между левыми и правыми касательными к кривой в заданных точках, необходимо сначала найти производную функции в этих точках. Производная функции в точке даёт угол наклона касательной.

а) Для функции \( y = \sqrt{1 - e^{-a^2 x^2}} \) в точке \( x = 0 \):

1. Находим производную: Используем правило производной для сложной функции. Обозначим \( u = 1 - e^{-a^2 x^2} \), тогда \( y = \sqrt{u} \).

   • Производная \( y' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' \), где \( u' = 2a^2 x e^{-a^2 x^2} \).

   Сначала вычислим \( u \) при \( x = 0 \): \[ u(0) = 1 - e^{0} = 0. \]

   Теперь найдем производную в \( x = 0 \): \[ y'(0) = \frac{1}{2\sqrt{0}} \cdot 0 = 0. \]

   Это говорит о том, что в точке \( x = 0 \) угол наклона касательной равен \( 0 \) радиан (горизонтальная касательная).

2. Угол между касательными: Поскольку производная в этой точке равна нулю, угол между левой и правой касательной равен \( 0 \) градусов.

б) Для функции \( y = \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) \) в точке \( x = 1 \):

1. Находим производную: Используем правило производной для арксинуса. Для функции \( y = \arcsin(v) \), где \( v = \frac{2x}{1+x^2} \): \[ y' = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} \cdot v'. \] Сначала найдем производную \( v \): \[ v' = \frac{(1+x^2) \cdot 2 - 2x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1+x^2 - 2x^2)}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}. \]

   Затем подставим \( x = 1 \): \[ v(1) = \frac{2 \cdot 1}{1 + 1^2} = 1. \] Из этого следует, что \[ \sqrt{1-v^2} = \sqrt{1-1} = 0. \]

   Таким образом, при \( x = 1 \) производная \( y' \) не определена, что указывает на вертикальную касательную.

2. Угол между касательными: В этой точке производная показывает, что одна касательная вертикальна, а другая горизонтальна. Угол между вертикальной и горизонтальной касательной равен \( 90 \) градусов.

В итоге, ответы:

• а) угол между касательными в точке \( x = 0 \) равен \( 0 \) градусов.
• б) угол между касательными в точке \( x = 1 \) равен \( 90 \) градусов.