687. В сосуд, содержащий воду массой 100 кг при температуре 10 °С, положили кусок льда, охлажденный до —50 °С. После установления теплового равновесия температура ледяной массы оказалась равной —4 °С. Какова масса куска льда?
Для решения этой задачи рассмотрим процесс теплопередачи между водой и льдом до установления теплового равновесия. Нам необходимо учитывать несколько этапов:
- Нагрев льда от −50 °C до 0 °C.
- Плавление льда при 0 °C.
- Нагрев получившейся воды до −4 °C.
Для воды у нас есть следующая информация:
- Масса воды, \( m_{\text{вода}} = 100 \) кг.
- Удельная теплоемкость воды, \( c_{\text{вода}} \approx 4200 \) Дж/(кг·°C).
- Начальная температура воды, \( T_{\text{вода}} = 10 \) °C.
- Конечная температура, \( T_f = -4 \) °C.
Для льда:
- Масса льда, \( m_{\text{лед}} \) (неизвестная).
- Удельная теплоемкость льда, \( c_{\text{лед}} \approx 2100 \) Дж/(кг·°C).
- Удельная теплота плавления льда, \( L_f \approx 334000 \) Дж/кг.
Теперь запишем уравнение теплового баланса:
\[ \text{(потеря тепла водой)} + \text{(приобретение тепла льдом)} = 0 \]
Потеря тепла водой: Вода охлаждается от 10 °C до -4 °C.
\[ Q_{\text{вода}} = m_{\text{вода}} \cdot c_{\text{вода}} \cdot (T_{\text{вода}} - T_f) \]
\[ Q_{\text{вода}} = 100 \, \text{кг} \cdot 4200 \, \text{Дж/(кг·°C)} \cdot (10 - (-4)) = 100 \cdot 4200 \cdot 14 = 5880000 \, \text{Дж} \]
Приобретение тепла льдом: Лед сначала нагревается от −50 °C до 0 °C, затем плавится, и образовавшаяся вода нагревается от 0 °C до −4 °C.
Обозначим массу льда как \( m_{\text{лед}} \).
- Нагрев льда до 0 °C:
\[ Q_{\text{подъем}} = m_{\text{лед}} \cdot c_{\text{лед}} \cdot (0 - (-50)) = m_{\text{лед}} \cdot 2100 \cdot 50 \]
- Плавление льда:
\[ Q_{\text{плавление}} = m_{\text{лед}} \cdot L_f = m_{\text{лед}} \cdot 334000 \]
- Нагрев получившейся воды до −4 °C:
\[ Q_{\text{нагрев}} = m_{\text{лед}} \cdot c_{\text{вода}} \cdot (-4 - 0) = m_{\text{лед}} \cdot 4200 \cdot (-4) \]
Теперь сумма всех теплоты, которую получает лед и образовавшаяся вода, равна:
\[ Q_{\text{лед}} = Q_{\text{подъем}} + Q_{\text{плавление}} + Q_{\text{нагрев}} = m_{\text{лед}} \cdot (2100 \cdot 50 + 334000 - 4200 \cdot 4) \]
Суммируем:
\[ Q_{\text{лед}} = m_{\text{лед}} \cdot (105000 + 334000 - 16800) = m_{\text{лед}} \cdot 422200 \]
Теперь равняем потерю тепло от воды и получение тепла от льда:
\[ 5880000 = m_{\text{лед}} \cdot 422200 \]
Теперь находим массу льда \( m_{\text{лед}} \):
\[ m_{\text{лед}} = \frac{5880000}{422200} \approx 13.9 \, \text{кг} \]
Таким образом, масса куска льда составляет примерно 13.9 кг.
